Gia đình ông Ba đi du lịch bằng xe hơi 7 chỗ. Họ phải lái xe \[100{\rm{ km}}\] trên đường thường và 240 km trên đường cao tốc. Tốc độ trên đường cao tốc hơn tốc độ trên đường thường là \[50\% .\] Gọi \(r\) (km/giờ) là tốc độ trên đường thường.

a) Hãy viết biểu thức tính thời gian mà gia đình ông Ba phải đi.

b) Hãy tính thời gian gia đình ông Ba phải đi nếu họ lái xe đúng theo giới hạn quy định tốc độ cho phép xe ô tô dưới 30 chỗ là 40 km/giờ khi lưu thông trên đường trong khu vực đông dân cư.

a) Ta có \(1 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..\)

Vậy để \(B\) xác định thì \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1.\)

b) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) ta có:

\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x + 1}}\).

Vì vậy với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x = - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(B = \frac{4}{{x + 1}},\) ta được:

\(B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.\)

Vậy với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(B = 8.\)

c) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) là số nguyên, để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) là ước của \(4.\)

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Do đó: \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)

Mà \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) nên \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Vậy để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Gọi \[x\,\,\left( \% \right)\] là giá bán một ly trà sữa ở tuần trước \(\left( {x > 0} \right).\)

Vì tổng giá một ly trà sữa và một ly trà đào là \(47\,\,000\) đồng.

Khi đó giá bán một ly trà đào ở tuần trước là \(47\,\,000 - x\) (đồng).

Giá bán một ly trà sữa hôm nay là: \[x\left( {100\% - 20\% } \right) = 80\% x = 0,8x\] (đồng).

Giá bán một ly trà đào hôm nay là:

\[\left( {47\,\,000 - x} \right)\left( {100\% + 10\% } \right) = 110\% x\left( {47\,\,000 - x} \right) = 51\,\,700 - 1,1x\] (đồng).

Do My đã trả chi phí là \(172\,\,600\) đồng. Hỏi ở tuần trước nên ta có phương trình:

                    \(5 \cdot 0,8x + 3\left( {51\,\,700 - 1,1x} \right) = 172\,\,600\)

\(4x + 155\,\,100 - 3,3x = 172\,\,600\)

\(4x - 3,3x = 172\,\,600 - 155\,\,100\)

\(0,7x = 17\,\,500\)

\(x = 25\,\,000\) (thỏa mãn).

Vậy giá tiền mỗi ly trà sữa ở tuần trước là \(25\,\,000\) đồng;

Giá tiền mỗi ly trà đào là \(47\,\,000 - 25\,\,000 = 22\,\,000\) (đồng).