Câu hỏi:

15/02/2025 785

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB = 21{\rm{ cm,}}$ $AC = 28{\rm{ cm}}$, phân giác $AD$ với $D \in BC$.

a) Tính độ dài $BC,BD,DC$.

b) Gọi $E$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$. Tính độ dài $DE$ và $EC$.

C) Gọi $I$ là giao điểm của đường phân giác và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $IG\parallel AC.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 21 cm ,AC = 28 cm , phân giác AD với D thuốc BC . (ảnh 1)

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABC$, ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

${21^2} + {28^2} = B{C^2}$

$B{C^2} = 1225$ nên $BC = 35{\rm{ cm}}$.

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của góc $BAC$ nên $\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DA + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} = \frac{{35}}{{21 + 28}} = \frac{5}{7}$.

Suy ra $DB = \frac{5}{7}.AB = \frac{5}{7}.21 = 15{\rm{ cm}}$ và $DC = \frac{5}{7}.AC = \frac{5}{7}.28 = 20{\rm{ cm}}$.

b) Vì $E$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$ nên $DE \bot AC$.

Mà $BA \bot AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$).

Do đó $DE\parallel AB$.

Xét $\Delta ABC$ có $DE\parallel AB$ nên $\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}$ (Hệ quả định lí Thalès)

Do đó, $DE = \frac{4}{7}AB = \frac{4}{7}.21 = 12{\rm{ cm}}$ và $EC = \frac{4}{7}AC = \frac{4}{7}.28 = 16{\rm{ cm}}$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của $BI$ với $AC$.

Vì $I$ là giao điểm của ba đường phân giác nên $BF$ là đường phân giác góc $\widehat {ABC}$.

Do đó, $\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{21}}{{35}} = \frac{3}{5}$.

Suy ra $FA = \frac{3}{5}FC = \frac{3}{8}AC = \frac{{21}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Có $AI$ là đường phân giác của tam giác $ABF$ nên có $\frac{{BI}}{{FI}} = \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{21}}{{\frac{{21}}{2}}} = 2$ (1)

Gọi $GB$ cắt $AC$ tại $M$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $BM$ là đường trung tuyến, do đó $\frac{{GB}}{{GM}} = 2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{GB}}{{GM}} = \frac{{IB}}{{IF}}$ suy ra $IG\parallel FM$ hay $IG\parallel AC$ (Theo định lí Thalès đảo).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\Delta ABC$ có $AD$ là trung tuyến, trọng tâm $G$, đường thẳng đi qua $G$ cắt các cạnh $AB,$ $AC$ lần lượt tại $E,F$. Từ $B,C$ kẻ các đường song song với $EF$ cắt $AD$ lần lượt tại $M,N$.

a) $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}$.

b) $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DB}}{{DC}}$.

c) $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1$.

d) $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) Đ d) Đ

Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, trọng tâm G , đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB,A C lần lượt tại E,F . (ảnh 1)

a) Xét $\Delta ABC$ có $EG\parallel BM$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}$.

b) Xét $\Delta DCN$ có $BM\parallel CN$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}$.

c) Có $D$ là trung điểm của $BC$ (do $AD$ là trung tuyến của tam giác) nên $DB = DC$.

Do đó, $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1$ nên $DM = DN$.

Suy ra $GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD$.

Lại có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $AG = 2GD$.

Xét $\Delta ACN$ có $FG\parallel CN$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}$.

Suy ra $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1$.

Do đó, $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1$.

d) Xét $\Delta ABC$ có $EG\parallel BM$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}$.

Xét $\Delta ACN$ có $FG\parallel CN$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}$.

Suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}} = \frac{{AM + AN}}{{AG}} = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}$

$ = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2.\frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3$.

Vậy $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3$.

Câu 2