(1,5 điểm) Cho đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,{\rm{ }}AC\] lần lượt tại \[F\] và \[E.\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[BI.\] Chứng minh rằng:

1. Tứ giác \(AEIF\) là tứ giác nội tiếp.

2. \(\widehat {AIF} = \widehat {KIC}.\)

3. Ba điểm \[F,{\rm{ }}E,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 40.

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp nên \[\widehat {A\,} + \widehat C = 180^\circ \] (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng \(180^\circ ).\)

Suy ra \[\widehat C = 180^\circ  - \widehat {A\,} = 180^\circ  - 80^\circ  = 100^\circ .\]

Xét phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 7 = 0\) \(\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {{m^2} - 7} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 28 = - 4m + 29\).

Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta > 0,\) tức là \( - 4m + 29 > 0\) hay \(m < \frac{{29}}{4}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài, \(4{x_1}^2 - {x_1} - 3x_2^2 + {x_2} = {x_1}{x_2}\)

\(4{x_1}^2 - 4x_2^2 - {x_1} + x_2^2 + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0\)

\[4\left( {{x_1}^2 - x_2^2} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {x_2} - {x_1} = 0\]

\(4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 4{x_2} - {x_2} - 1} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 3{x_2} - 1} \right) = 0\)

Xét trường hợp 1: \({x_1} - {x_2} = 0\) suy ra \({x_1} = {x_2}\) (loại do \({x_1} \ne {x_2}).\)

Xét trường hợp 2: \(4{x_1} + 3{x_2} - 1 = 0\) suy ra \({x_1} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1 = 0\) \(\left( {**} \right)\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 2m - 1\) vào \(\left( {**} \right)\) ta có: \({x_1} + 3\left( {2m - 1} \right) - 1 = 0\) hay \({x_1} = - 6m + 4\).

Thay \({x_1} = - 6m + 4\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \( - 6m + 4 + {x_2} = 2m - 1\), suy ra \({x_2} = 8m - 5.\)

Thay \({x_1} = - 6m + 4\) và \({x_2} = 8m - 5\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\left( { - 6m + 4} \right)\left( {8m - 5} \right) = {m^2} - 7\)

\( - 48{m^2} + 30m + 32m - 20 = {m^2} - 7\)

\( - 49{m^2} + 62m - 13 = 0\)

\(m = 1\) (thỏa mãn); \(m = \frac{{13}}{{49}}\) (thỏa mãn).

 Vậy với \(m = \left\{ {1;\,\,\frac{{13}}{{49}}} \right\}\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.