Cho đường tròn \(\left( O \right)\), bán kính \(R\,\,\left( {R > 0} \right)\) và dây cung \(BC\) cố định. Một điểm \(A\) chuyển động trên cung lớn \(BC\) sao cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) và \(BE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(F\)\(\left( F \right.\) khác \(\left. B \right).\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(DHEC\) nội tiếp.

b) Kẻ đường kính \(AM\) của đường tròn \(\left( O \right)\) và \(OI\) vuông góc với \(BC\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(HM\) và tính \[AF\] biết \(BC = R\sqrt 3 .\)

c) Khi \(BC\) cố định, xác định vị trí của \(A\) trên đường tròn \(\left( O \right)\) để \(DH \cdot DA\) lớn nhất.

Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\) đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường thẳng \(AB\) và \(DC\) cắt nhau tại \(X.\) Biết \(\widehat {BAD} = 70^\circ ;\,\,\widehat {ABC} = 130^\circ .\) Tính số đo góc \(BXC\) (đơn vị độ).

B. Tự luận

1. Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).

Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.

a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.

b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?

2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3, \ldots ,{\rm{ }}51,{\rm{ }}52;\] hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tìm số phần tử của tập hợp C gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.

Một chiếc kem ốc quế có dạng hình nón với phần vỏ quế có đường kính đáy là \[4,4{\rm{ cm,}}\] chiều cao vỏ quế \[12{\rm{ cm}}\,{\rm{.}}\] Người ta lấy phần kem từ một hộp hình trụ có chiều cao là \[15{\rm{ cm}}\] với diện tích đáy \(100\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) để cho vào vỏ ốc quế (coi phần vỏ kem có độ dày không đáng kể).

a) Thể tích hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\), được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

b) Bán kính đáy của chiếc kem ốc quế là \(R = 2,2\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{.}}\)

c) Thể tích của chiếc kem là \(\frac{{1452}}{{25}}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

d) Ta có thể lấy kem từ hộp làm được tối đa 75 chiếc kem ốc quế.

Cho bảng khảo sát về chiều cao học sinh trong lớp như sau:

Bảng số liệu ghép nhóm trên có số nhóm số liệu là

Cho phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\).

a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.

b) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

c) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình lần lượt là \({x_1} + {x_2} = m + 2\,;\,\,{x_1}{x_2} = m - 1.\)

d) Không có giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thoả mãn \({x^2}_1 - {x_1} + {x^2}_2 - {x_2} = 6.\)

Phép quay giữ nguyên mọi điểm là phép quay