Câu hỏi:

18/03/2025 76

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}4xy + 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{85}}{3}\\2x + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a \ne 0\\x - y = b\end{array} \right.\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {a^2}\\{\left( {x - y} \right)^2} = {b^2}\end{array} \right.\) hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + {y^2} = {a^2}\\{x^2} - 2xy + {y^2} = {b^2}\end{array} \right.\]

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}4xy = {a^2} - {b^2}\\2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {a^2} + {b^2}\end{array} \right.\]

Từ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\x - y = b\end{array} \right.\) suy ra 2x = a + b.

Hệ phương trình đã cho trở thành:

\[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{{85}}{3}\\a + b + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}3{a^2} + {b^2} + \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{{85}}{3}\\a + b + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}3\left( {{a^2} + 2 + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + {b^2} = \frac{{85}}{3} + 6\\a + b + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}3{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + {b^2} = \frac{{103}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\a + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3} - b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Thay (2) vào (1) ta được:

\[3{\left( {\frac{{13}}{3} - b} \right)^2} + {b^2} = \frac{{103}}{3}\]

\(3\left( {\frac{{169}}{9} - \frac{{26}}{3}b + {b^2}} \right) + {b^2} = \frac{{103}}{3}\)

\(169 - 78b + 9{b^2} + 3{b^2} = 103\)

\[12{b^2} - 78b + 66 = 0\]

\(b = 1\) hoặc \(b = \frac{{11}}{2}\)

¬ Với \(b = 1,\) thay vào (2) ta có: \[a + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3} - 1 = \frac{{10}}{3}\]

Suy ra \(3{a^2} - 10a + 3 = 0\)

\(a = 3\) (thỏa mãn) hoặc \(a = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Khi đó, ta có:

⦁ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x - y = 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)

⦁ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{1}{3}\\x - y = 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = - \frac{1}{3}.\end{array} \right.\)

¬ Với \(b = \frac{{11}}{2},\) thay vào (2) ta có: \[a + \frac{1}{a} = \frac{{13}}{3} - \frac{{11}}{2} = - \frac{7}{6}.\]

Suy ra \(6{a^2} + 7a + 6 = 0\) (phương trình vô nghiệm).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;\,\,1} \right);\,\,\left( {\frac{2}{3};\,\, - \frac{1}{3}} \right)} \right\}.\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính: 450 : 5

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 450 : 5 = 90.

Câu 2

Tìm x, y biết:

3x = 2y, 7y = 5z và x ‒ y + z = 32.

Xem đáp án

Lời giải

3x = 2y suy ra \(\frac{{\rm{x}}}{2} = \frac{{\rm{y}}}{3}\)

7y = 5z suy ra \(\frac{{\rm{y}}}{5} = \frac{{\rm{z}}}{7}\)

Suy ra \[\frac{{\rm{x}}}{2} = \frac{{{\rm{5y}}}}{{15}}\]; \[\frac{{{\rm{3y}}}}{{15}} = \frac{{\rm{z}}}{7}\]

Suy ra \[\frac{{\rm{x}}}{{10}} = \frac{{\rm{y}}}{{15}}\]; \[\frac{{\rm{y}}}{{15}} = \frac{{\rm{z}}}{{21}}\]

Suy ra \[\frac{{\rm{x}}}{{10}} = \frac{{\rm{y}}}{{15}} = \frac{{\rm{z}}}{{21}}\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{\rm{x}}}{{10}} = \frac{{\rm{y}}}{{15}} = \frac{{\rm{z}}}{{21}} = \frac{{{\rm{x}} - {\rm{y + z}}}}{{10 - 15 + 21}} = \frac{{32}}{{16}} = 2\]

Suy ra:

\[\frac{{\rm{x}}}{{10}} = 2\], x = 10.2 = 20

\[\frac{{\rm{y}}}{{15}} = 2\], y = 15.2 = 30

\[\frac{{\rm{z}}}{{21}} = 2\], z = 21.2 = 42

273. 4/5m2=?dm2

Đề bài. \[\frac{4}{5}{{\rm{m}}^2} = \ldots {\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\]

Lời giải:

\[\frac{4}{5}{{\rm{m}}^2} = \frac{{400}}{5}{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = 80{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\]

Câu 3