10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 4

2km² = 200 ha.

Ta có: 2x + 5 = 2(x + 1) + 3

Do đó để 2x + 5 chia hết cho x + 1 thì 3 chia hết cho x + 1.

Hay x + 1 ∈ Ư(3) = {1; ‒1; 3 ; ‒3}.

Mà x là số tự nhiên nên x + 1 ≥ 1, suy ra x + 1 ∈ {1; 3}.

Do đó x ∈ {0; 2}.

a) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ 2.        

\[Q = \left( {\frac{{2x - {x^2}}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8}}} \right)\left( {\frac{2}{{{x^2}}} + \frac{{1 - x}}{x}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}} \right] \cdot \frac{{2 + x\left( {1 - x} \right)}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{ - x{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 4{x^2}}}{{2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}} \cdot \frac{{2 + x - {x^2}}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{x\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 4{x^2}}}{{2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{x + 1}}{{2x}}\].

Vậy với x ≠ 0 và x ≠ 2 thì \(Q = \frac{{x + 1}}{{2x}}\).

b) Với x ≠ 0 và x ≠ 2, ta có: \[2Q = 2 \cdot \frac{{x + 1}}{{2x}} = 1 + \frac{1}{x}.\]

Để 2Q ∈ ℤ thì 1 ⋮ x, hay x ∈ Ư(1) = {1; –1}.

Với x = 1, ta có \(Q = \frac{{1 + 1}}{{2 \cdot 1}} = 1 \in \mathbb{Z}\) nên thỏa mãn.

Với x = –1, ta có \(Q = \frac{{ - 1 + 1}}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 0 \in \mathbb{Z}\) nên thỏa mãn.

Vậy x ∈ {1; −1}.

Ta có: \[\frac{{2x}}{3} = \frac{{3y}}{4} = \frac{{4z}}{5} = \frac{{12x}}{{18}} = \frac{{12y}}{{16}} = \frac{{12z}}{{15}}\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{12x}}{{18}} = \frac{{12y}}{{16}} = \frac{{12z}}{{15}} = \frac{{12x + 12y + 12z}}{{18 + 16 + 15}} = \frac{{12\left( {x + y + z} \right)}}{{49}} = \frac{{12 \cdot 49}}{{49}} = 12\]

Suy ra:

\[\frac{{2x}}{3} = 12\], suy ra 2x = 36, x = 18;

\[\frac{{3y}}{4} = 12\], suy ra 3y = 48, y = 16;

\[\frac{{4z}}{5} = 12\], suy ra 4z = 60, z = 15.

Vậy x = 18, y = 16, z = 15.

2x² − 7x + 6 = 0

(2x² − 4x) − (3x − 6) = 0

2x(x − 2) − 3(x − 2) = 0

(x − 2)(2x − 3) = 0

x − 2 = 0 hoặc 2x − 3 = 0

x = 2 hoặc \[x = \frac{3}{2}\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2; \[x = \frac{3}{2}.\]

Ta có:

2x² + 2y² + 3x − 6y = 5xy − 7

2x² + 2y² + 3x − 6y − 5xy = −7

2x² − 4xy + 2y² − xy + 3x − 6y = −7

2x(x − 2y) − y(x − 2y) + 3(x − 2y) = −7

(2x − y + 3)(x − 2y) = −7

Vì x; y là số nguyên nên 2x ‒ y + z ∈ ℤ; x ‒ 2y ∈ ℤ

Mà x; y là số nguyên nên (x; y) ∈ {(1; 2); (‒3; ‒2)}.

Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + xy = {y^2} - 3y + 2\left( 1 \right)\\{x^2} - {y^2} = 3\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1):

2x² + xy = y² ‒ 3y + 2

2x² + xy ‒ y² + 3y ‒ 2 = 0

2x(x + y ‒ 1) ‒ y(x + y ‒ 1) + 2(x + y ‒ 1) = 0

(x + y ‒ 1)(2x ‒ y + 2) = 0

Suy ra x + y – 1 = 0 hoặc 2x ‒ y + 2 = 0.

⦁ Với x + y = 1.

Từ (2) suy ra (x ‒ y)(x + y) = 3.

Thay x + y = 1 vào (*) ta suy ra: x ‒ y = 3.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1.\end{array} \right.\]

⦁ Với 2x ‒ y + 2 = 0, suy ra y = 2x + 2, thay vào (2) ta được:

x² – (2x + 2)² = 3

x² – 4x² – 8x – 4 = 3

3x² + 8x + 7 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 4² – 3.7 = –5 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; –1).

2x² − 5x − 7

= (2x² + 2x) + (−7x − 7)

= 2x(x + 1) − 7(x + 1)

= (2x − 7)(x + 1).