10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án)

Câu 1/50

Cho tam giác ABC có AB = 1 cm , AC = 2 cm. Tính BC.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng định lí Cosin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

BC² = 1² + 2² – 2.1.2.cos120°

BC² = 1+ 4 – 4.\(\left( { - \frac{1}{2}} \right)\) = 7

BC =\(\sqrt 7 \) (cm)

Câu 2/50

Cho tam giác ABC có AB = 23, AC = 24, B = 60º. Tính sin của góc C.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

\(\sin C = \frac{{AB\sin B}}{{AC}} = \frac{{23.\sin 60^\circ }}{{24}} = \frac{{23\sqrt 3 }}{{48}}\)

Câu 3/50

Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD² + AC² = 2.(AB² + AD²).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC

BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC nên

\(B{O^2} = \frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\)

Hay 4BO² = 2(BC² + BA²) – AC² (1)

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO \( \Rightarrow \) BD² = 4BO²

(1)\( \Rightarrow \) BD² = 2(CB² + AB²) – AC²

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(CB² + AB²)

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(AB² + AD²) ( do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Câu 4/50

Cho tam giác ABC. Chứng minh góc A nhọn khi và chỉ khi BC² < AB² + AC².

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng định lí Cosin ta có:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

Mà AB.AC luôn lớn hơn 0 nên cos A cùng dấu với biểu thức (AB² + AC² – BC²)

Vì góc A nhọn nên suy ra cos A > 0

Do đó AB² + AC² – BC² > 0.

Vậy BC² < AB² + AC².

Câu 5/50

Một ô tô đi từ A đến C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này tạo thành tam giác ABC có AB =15 km, BC = 10 km và \[\widehat B = 105^\circ \]. Giả sử người ta khoan hầm qua một núi và tạo ra một con đường thẳng từ A đến C. Tính độ dài đoạn đường này.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng định lí Cosin, ta có:

AC² = AB² + BC² = 2AB.BC.cos B

AC² = 15² + 10² – 2.15.10.cos 105º ≈ 402,65

Do đó AC = \(\sqrt {402,65} \) ≈ 20,07 (km)

Câu 6/50

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9 cm. Tính độ dài BC và AH.

Xem đáp án

Lời giải

Ta đặt HC = x (x > 0).

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC, ta có

AC² = BC.HC, ta được:

20² = (9 + x)x

x² + 9x – 400 = 0

(x + 25)(x – 16) = 0

x = –25 (loại) hoặc x = 16 (TM)

Vậy độ dài của cạnh huyền BC là:

BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Ta có: AH² = HB.HC = 9.25 = 225

Do đó, chiều dài đường cao AH là: AH = 15 cm.

Câu 7/50

Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β: cos 2α . cos 2β + cos 2α . sin 2β + sin 2α.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có cos 2α . cos 2β + cos 2α . sin 2β + sin 2α

= cos 2α(cos 2β + sin 2β) + sin 2α

= cos 2α . 1 + sin 2α = 1.

Câu 8/50

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Xem đáp án

Lời giải

Vẽ AH ⊥ BC, thì ta có: AB² = BH . BC; AC² = CH . BC.

Nên \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\) hay \(\frac{{{7^2}}}{{{{24}^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\).

Do đó \(\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{49}}{{576}}\).

Nên ta có \(\frac{{BH}}{{49}} = \frac{{CH}}{{576}} = \frac{{BH + CH}}{{49 + 576}} = \frac{{BC}}{{625}} = \frac{{625}}{{625}} = 1\).

Vậy \(BH = 49.1 = 49;\,\,CH = 576.1 = 576\).

Câu 9/50