10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 19

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi:

\(1.\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} \le \frac{{{1^2} + {x_1}^2 - {1^2}}}{2} = \frac{{{x_1}^2}}{2}\)

\(2.\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} \le \frac{{{2^2} + {x_2}^2 - {2^2}}}{2} = \frac{{{x_2}^2}}{2}\)

….

\(n.\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{{{n^2} + {x_n}^2 - {n^2}}}{2} = \frac{{{x_n}^2}}{2}\)

Cộng theo vế ta được:

\(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + ... + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{{{x_1}^2}}{2} + \frac{{{x_2}^2}}{2} + ... + \frac{{{x_n}^2}}{2}\)

\(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + ... + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{1}{2}\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} = 1\\\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} = 2\\....\\\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} = n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 \\{x_2} = 2\sqrt 2 \\....\\{x_n} = n\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Lời giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 7x + 6 \ne 0\\\sqrt {2x + 4} \ne 0\\2x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - 6\\x \ne - 2\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - 6\\x > - 2\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(\frac{3}{{5.10}} + \frac{3}{{10.15}} + \frac{3}{{15.20}} + \frac{3}{{20.25}} + ... + \frac{3}{{95.100}}\)

\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{5}{{5.10}} + \frac{5}{{10.15}} + \frac{5}{{15.20}} + \frac{5}{{20.25}} + ... + \frac{5}{{95.100}}} \right)\)

\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} - \frac{1}{{25}} + ... + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{100}}} \right)\)

\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{100}}} \right)\)

\( = \frac{3}{5}.\frac{{19}}{{100}}\)

\( = \frac{{57}}{{500}}\)

Lời giải:

A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 31.33

6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 31.33.6

6A = 1.3(5 + 1) + 3.5(7 – 1) + … + 31.33.(35 – 29)

6A = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 – 1.3.5 + 5.7.9 – 3.5.7 + … + 31.33.35 – 29.31.33

6A = 1.3 + 31.33.35

6A = 3 + 35805

6A = 35808

A = \(\frac{{11935}}{2}\)

Lời giải:

A = 1 + 3 + 3² + … + 3²⁰

3A = 3 + 3² + … + 3²¹

3A – A = (3 + 3² + … + 3²¹) – (1 + 3 + 3² + … + 3²⁰)

2A = 3²¹ – 1

\(A = \frac{{{3^{21}} - 1}}{2}\)

Lời giải:

\(A = \frac{{\left( {{2^3} + 1} \right)\left( {{3^3} + 1} \right)...\left( {{{100}^3} + 1} \right)}}{{\left( {{2^3} - 1} \right)\left( {{3^3} - 1} \right)...\left( {{{100}^3} - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{\left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} - 2 + 1} \right)\left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} - 3 + 1} \right)...\left( {100 + 1} \right)\left( {{{100}^2} - 100 + 1} \right)}}{{\left( {2 - 1} \right)\left( {{2^2} + 2 + 1} \right)\left( {3 - 1} \right)\left( {{3^2} + 3 + 1} \right)...\left( {100 - 1} \right)\left( {{{100}^2} + 100 + 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{3.3.4.7...101.9901}}{{1.7.2.13.3.21...99.10101}}\)

\(A = \frac{{\left( {3.4.5...101} \right).\left( {3.7.13...9901} \right)}}{{\left( {1.2.3...99} \right).\left( {7.13.21...10101} \right)}}\)

\(A = \frac{{3.100.101}}{{1.2.10101}} = \frac{{30300}}{{20202}}\)

Lời giải:

Diện tích mảnh đất hình thang ABCE là:

(10 + 8) × 5 : 2 = 45 (m²)

Tính diện tích mảnh đất hình tam giác vuông ECD:

6 × 8 : 2 = 24 (m²)

Tính diện tích mảnh đất hình ABCDE:

45 + 24 = 69 (m²)

Lời giải:

Bán kính hình tròn là:

50 : 2 = 25(cm)

Diện tích hình tròn là:

π.25² = 625π (cm²)

Diện tích phần màu đỏ của hình tròn chiếm:

1 – 20% = 80% (diện tích cả hình tròn)

Diện tích phần màu đỏ của hình tròn là:

80% . 625π = 500π (cm²)