10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 2

(‒0,25)⁴.4⁴

\[ = {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^4} \cdot {4^4}\]

\[ = {\left( { - \frac{1}{4} \cdot 4} \right)^4}\]

\[ = {\left( { - \frac{4}{4}} \right)^4}\]

= (‒1)⁴ = 1.

\[\left( {1 + \frac{7}{9}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{20}}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{33}}} \right) \cdot .. \cdot \left( {1 + \frac{7}{{2900}}} \right)\]

\[ = \frac{{16}}{9} \cdot \frac{{27}}{{20}} \cdot \frac{{40}}{{33}} \cdot ... \cdot \frac{{2\,\,907}}{{2\,\,900}}\]

\[ = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 10 \cdot ... \cdot 51 \cdot 57}}{{1 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 11 \cdot ... \cdot 50 \cdot 58}}\]

\[ = \frac{{\left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot 51} \right)\left( {8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot 57} \right)}}{{\left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot 50} \right)\left( {9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot \cdot \cdot 58} \right)}}\]

\[ = \frac{{51 \cdot 8}}{{50 \cdot 58}}\]

\[ = \frac{{51 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}{{25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29}}\]

\[ = \frac{{102}}{{725}}.\]

Ta có:

\[\frac{{2013}}{1} + \frac{{2012}}{2} + \frac{{2011}}{3} + ... + \frac{2}{{2012}} + \frac{1}{{2013}}\]

\[ = \left( {1 + \frac{{2012}}{2}} \right) + \left( {1 + \frac{{2011}}{3}} \right) + ... + \left( {1 + \frac{2}{{2012}}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{{2013}}} \right) + 1\]

\[ = \frac{{2014}}{2} + \frac{{2014}}{3} + ... + \frac{{2014}}{{2012}} + \frac{{2014}}{{2013}} + \frac{{2014}}{{2014}}\]

\[ = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]

Nên từ đề bài, ta có:

\[\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right) \cdot x = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]

Suy ra x = 2014.

(145 × 99 + 145) ‒ (143 × 102 ‒ 143)

= [(145 × (99 + 1)] ‒ [(143 × (102 ‒ 1)]

= (145 × 100) ‒ (143 × 101)

= 14500 ‒ 14443

= 57.

A = (‒2) + (‒59) ‒ (‒22) + 59

= ‒2 ‒ 59 + 22 + 59

= (‒2 + 22) + (‒59 + 59)

= 20.

\[\frac{{{2^{23}} + {\rm{ }}{2^{24}} + {\rm{ }}{2^{25}}}}{{{2^{18}} + {2^{19}} + {2^{20}}}}\]

\[ = \frac{{{2^{18}}\left( {{2^5} + {\rm{ }}{2^6} + {\rm{ }}{2^7}} \right)}}{{{2^{18}}\left( {{2^0} + {2^1} + {2^2}} \right)}}\]

\[ = \frac{{{2^5}\left( {{2^0} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}{2^2}} \right)}}{{{2^0} + {2^1} + {2^2}}}\]

= 2⁵ = 32.

\[\frac{{{2^3} \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 45}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]

\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 9 \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]

\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^4} \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2} \cdot 1}}\]

\[ = \frac{{{9^4} \cdot \left( {8 + 5} \right)}}{{{9^2} \cdot \left( {10 - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{9^4} \cdot 13}}{{{9^3}}}\]

= 9.13 = 117.

Lời giải:

(2x ‒ 1)³ = 27

(2x ‒ 1)³ = 3³

2x ‒ 1 = 3

2x = 4

x = 2

Vậy x = 2.

Lời giải:

(3x ‒ 16y ‒24)² = 9x² + 16x + 32

[3x ‒ (16y + 24)]² = 9x² + 16x + 32

9x² − 6x(16y + 24) + (16y + 24)² = 9x² + 16x + 32

−96xy – 144x + 256y² + 768y + 576 = 16x + 32

256y² − 96xy – 160x + 768y + 544 = 0

x(3y + 5) = 8y² + 24y + 17

\[x = \frac{{8{y^2} + 24y + 17}}{{3y + 5}}\]

\[9x = \frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}}\]

Do x ∈ ℤ nên \[\frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\frac{{72{y^2} + 216y + 153}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Suy ra \[\frac{{24y\left( {3y + 5} \right) + 32\left( {3y + 5} \right) - 7}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Do đó \[24y + 32 - \frac{7}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Mà y ∈ ℤ nên 3y + 5 ∈ Ư(7), mà Ư(7) = {‒7; ‒1; 1; 7}.

Ta có bảng giá trị:

Do y ∈ ℤ nên ta chọn y ∈ {‒4; ‒2}.

Lời giải:

(4x ‒ 3)⁴ = (4x ‒ 3)²

(4x ‒ 3)⁴ ‒ (4x ‒ 3)² = 0

(4x ‒ 3)².(4x ‒ 3)² ‒ (4x ‒ 3)² = 0

(4x ‒ 3)².[(4x ‒ 3)² ‒ 1] = 0

(4x ‒ 3)² = 0 hoặc (4x ‒ 3)² ‒ 1 = 0

⦁ Với (4x ‒ 3)² = 0

4x ‒ 3 = 0

\[x = \frac{3}{4}\]

⦁ Với (4x ‒ 3)² ‒ 1 = 0

4x ‒ 3 = 1 hoặc 4x ‒ 3 = ‒1

x = 1 hoặc \[x = \frac{1}{2}\]

Vậy \[x = \frac{3}{4}\]; x = 1; \[x = \frac{1}{2}\].

\[\frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \left( {3 - \frac{3}{4}} \right)}}{{\left( {\frac{{10}}{{21}} + \frac{{14}}{{27}} - \frac{{18}}{{33}} + \frac{{22}}{{39}}} \right):\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{3} \cdot \left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{3}{4}}}\]

\[ = \frac{{\frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{4}}} = \frac{9}{4} \cdot \left( { - 2} \right) = - \frac{9}{2}.\]

(5x + 1)² ‒ (5x + 3)(5x ‒ 3) = 30

25x² + 10x + 1 − (25x² − 9) = 30

25x² + 10x + 1 − 25x² + 9 = 30

10x + 10 = 30

10x = 30 ‒ 10

10x = 20

x = 2

Vậy x = 2.

\[A = \frac{{38}}{{25}} + \frac{9}{{10}} - \frac{{11}}{{15}} + \frac{{13}}{{21}} - \frac{{15}}{{28}} + \frac{{17}}{{36}} - ... + \frac{{197}}{{4851}} - \frac{{199}}{{4950}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{18}}{{20}} - \frac{{22}}{{30}} + \frac{{26}}{{42}} - ... + \frac{{394}}{{9702}} - \frac{{398}}{{9900}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{20}} - \frac{{11}}{{30}} + \frac{{13}}{{42}} - ... + \frac{{197}}{{9702}} - \frac{{199}}{{9900}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{4 \cdot 5}} - \frac{{11}}{{5 \cdot 6}} + \frac{{13}}{{6 \cdot 7}} - ... + \frac{{197}}{{98 \cdot 99}} - \frac{{199}}{{99 \cdot 100}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left[ {\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) - ... + \left( {\frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right)} \right]\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{{25}}{{100}} - \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{{24}}{{100}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{6}{{25}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{12}}{{25}}\]

\[ = \frac{{50}}{{25}} = 2\]

Vậy A = 2.

Ta có: a ‒ 3 = a ‒ 14 + 11

Để (a ‒ 3) ⋮ (a ‒14) thì (a ‒ 14 + 11) ⋮ (a ‒ 14)

Mà (a ‒ 14) ⋮ (a ‒ 14) nên 11 ⋮ (a ‒ 14)

Hay a ‒ 14 ∈ Ư(11), mà Ư(11) = {‒11; ‒1; 1; 11}.

Ta có bảng giá trị:

Vậy các giá trị của a là a ∈ {3; 13; 15; 25}.

(a + b + c)³

= (a + b)³ + 3(a + b)².c + 3.(a + b).c² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a + b)².c + 3.(a + b).c² + c³

= a³ + b³ + c³ + [3a²b + 3ab² + 3(a + b)².c + 3.(a + b).c²]

= a³ + b³ + c³ + [3ab(a + b) + 3(a + b)²c + 3(a + b)c²]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[ab + (a + b)c + c²]

= a³ +b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + bc + c²)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[a.(b + c) + c.(b + c)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c).

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[a + 2{b^3} = a + {b^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot {b^3} \cdot {b^3}}} = 3\sqrt[3]{{a{b^6}}}.\]

Suy ra \[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} = \frac{{a\left( {a + 2{b^3}} \right) - 2a{b^3}}}{{a + 2{b^3}}} = a - \frac{{2a{b^3}}}{{a + {b^3} + {b^3}}} \ge a - \frac{{2a{b^3}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^6}}}}} = a - \frac{{2b\sqrt[3]{a}}}{3}.\]

Tương tự, ta có: \[\frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} \ge b - \frac{{2c\sqrt[3]{b}}}{3};\,\,\frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge c - \frac{{2a\sqrt[3]{c}}}{3}.\]

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge a + b + c - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\]

Mặt khác, a + b + c = 3 nên ta có:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\].

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \[a + a + 1 \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot a}} = 3\sqrt[3]{{{a^2}}}\]

Suy ra \[b\sqrt[3]{a} \le \frac{1}{3}b\left( {a + a + 1} \right) = \frac{{2ab + b}}{3}.\]

Tương tự, ta có: \[c\sqrt[3]{b} \le \frac{{2bc + c}}{3};\,\,a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ac + a}}{3}.\]

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:

\[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ab + b}}{3} + \frac{{2bc + c}}{3} + \frac{{2ac + a}}{3} = \frac{2}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\]

Ta có: (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0

2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0

a² + b² + c² – ab – bc – ca ≥ 0

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca

(a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca)

3² ≥ 3(ab + bc + ca)

Suy ra ab + bc + ca ≤ 3.

Từ đó ta có \[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3.\]

Do đó \[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 1.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi a = b = c = 1.

Xét phương trình (m² + 2m + 2)x² ‒ (m² ‒ 2m + 2)x ‒ 1 = 0

Ta có: ac = (m² + 2m + 2).(‒1) = ‒[(m + 1)² + 1] < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Theo định lí Viète, ta có: $\mathrm{S}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{{\mathrm{m}}^2-2\mathrm{m}+2}{{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+2}$

Suy ra S.m² + 2Sm + 2S = m² ‒ 2m + 2

Hay (S ‒ 1)m² + 2(S + 1)m + 2(S ‒ 1) = 0 (*)

Phương trình (*) có ∆’ = (S + 1)² ‒ 2(S ‒ 1)² = ‒S² + 6S ‒ 1.

Để tồn tại giá trị của S, m thì phương trình (*) phải có nghiệm m hay ∆’ ≥ 0.

Tức là ‒S² + 6S ‒ 1 ≥ 0 hay $3-2\sqrt{2}\le \mathrm{S}\le 3+2\sqrt{2}$

Vậy biểu thức S có GTNN là $3-2\sqrt{2}$, GTLN là $3+2\sqrt{2}$.

a) Từ phương trình (2) ta có: x = 3m + 1 ‒ 2y

Thay vào phương trình (1) ta có:

(m ‒ 1)(3m + 1 ‒ 2y) ‒ (m ‒1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 2(m ‒1)y ‒ (m ‒ 1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

3m² + m ‒ 3m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m ‒ 37

3m² ‒ 2m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

‒3(m ‒ 1)y = ‒3m² + 3m ‒ 36

Xét thấy m = 1 thì phương trình trên vô nghiệm, do đó m ≠ 1, khi đó ta có:

\[y = \frac{{3{m^2} - 3m + 36}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\].

Do đó, x = 3m + 1 ‒ 2y

\[ = 3m + 1 - 2 \cdot \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{3{m^2} - 3m + m - 1 - 2{m^2} + 2m - 24}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}}\]

Vậy với m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}};\,\,\frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}} \right).\)

b) Theo câu a, ta có: \[x = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}} = m + 1 - \frac{{24}}{{m - 1}}\] và \[y = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}} = m + \frac{{12}}{{m - 1}}\]

Để x và y nguyên, thì m ‒ 1 phải là ước của 24 và 12.

Mà ƯC(24, 12) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Do đó, m ‒ 1 ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Suy ra m ∈ {2; 3; 4; 5; 7; 13; 0; ‒1; ‒2; ‒3; ‒5; ‒11} (thỏa mãn).

Ta tính:

\[x + y = 2m + 1 + \frac{{12}}{{m - 1}} - \frac{{24}}{{m - 1}} = 2m + 1 - \frac{{12}}{{m - 1}}\].

Để x + y nhỏ nhất, ta thử các giá trị của m:

Khi m = ‒11, x + y = ‒22 + 1 + 1 = ‒20;

Khi m = ‒5, x + y = ‒10 + 1 + 2 = ‒7;

Khi m = ‒3, x + y = ‒6 + 1 + 3 = ‒2;

Khi m = ‒2, x + y = ‒4 + 1 + 4 = 1;

Khi m = ‒1, x + y = ‒2 + 1 + 6 = 5;

Khi m = 0, x + y = 0 + 1 + 12 = 13;

Khi m = 2, x + y = 4 + 1 ‒ 12 = ‒7;

Khi m = 3, x + y = 6 + 1 ‒ 6 = 1;

Khi m = 4, x + y = 8 + 1 ‒ 4 = 5;

Khi m = 5, x + y = 10 + 1 ‒ 3 = 8;

Khi m = 7, x + y = 14 + 1 ‒ 2 = 13;

Khi m = 13, x + y = 26 + 1 ‒ 1 = 26.

Giá trị nhỏ nhất của x + y là ‒20 khi m = ‒11.

Vậy m = ‒11.

(n + 5) chia hết (2n ‒ 1)

2(n + 5) chia hết (2n ‒ 1)

(2n + 10 ) chia hết (2n ‒ 1)

(2n ‒ 1 + 11) chia hết (2n ‒ 1)

11 chia hết (2n ‒ 1)

Nên 2n ‒ 1 ∈ Ư(11)

Vậy 2n ‒ 1 ∈ {‒1; ‒11; 1; 11}.

Nếu: 2n ‒ 1 = ‒1 thì n = 0;

        2n ‒ 1 = ‒11 thì n = ‒5;

        2n ‒ 1 = 11 thì n = 6;

        2n ‒ 1 = 1 thì n = 1.

Vậy các giá trị của n là n ∈ {0; ‒5; 6; 1}.

Ta có: x + 1; 2y + 3 là ước tự nhiên của 12.

Mà 12 = 1.12 = 2.6 = 3.4.

Do 2y + 3 là số lẻ nên 2y + 3 = 1 hoặc 2y + 3 = 3

⦁ Với 2y + 3 = 2 thì $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}$ (loại).

⦁ Với 2y + 3 = 3 thì y = 0, suy ra x + 1 = 4 hay x = 3.

Vậy (x; y) = (3; 0).

(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) ‒ 24

= (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) ‒ 24

= (x² + 5x + 5 ‒ 1)(x² + 5x + 5 + 1) ‒ 24

= (x² + 5x + 5)² ‒ 1 ‒ 24

= (x² + 5x + 5)² ‒ 25

= x(x + 5)(x² + 5x + 10).

(x + 2)² ‒ x + 4 = 0

x² + 4x + 4 − x + 4 = 0

x² + 3x + 8 = 0

x² + 2x.1,5 + 2,25 + 5,75 = 0

(x + 1,5)² + 5,75 = 0

Ta có: (x + 1,5)² ≥ 0 với mọi x nên (x + 1,5)² + 5,75 > 0 với mọi x.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \frac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + {y^2} - xy - 3y + 1 = 0\\x + y = \frac{{{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} - 3y + 1 = 0\\x + y - 1 = \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + y - 3} \right) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}}\left( {x + y - 3} \right) = - 1\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]

Đặt \[\frac{y}{{1 + {x^2}}} = a;\,\,x + y - 3 = b,\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ab = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b = a - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Thế (2) vào (1), ta được:

a(a – 2) = –1

a² – 2a + 1 = 0

(a – 1)² = 0

a – 1 = 0

a = 1.

Thay a = 1 vào phương trình (2), ta được: b = 1 – 2 = –1.

Với a = 1 và b = –1, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}} = 1\\x + y - 3 = - 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x + y - 3 = - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\]

Thế (3) vào (4), ta được:

x + 1 + x² – 3 = –1

x² + x – 1 = 0

\(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Với \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Với \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right).\)

\[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

\[{x^4} + 2{x^2} + 1 = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

\[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = 4 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \] (1)

Đặt \[t = x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

Suy ra t² = x²(2x² + 4)

Suy ra \[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = \frac{{{t^2}}}{2}\]

Từ (1) ta có phương trình:

\[\frac{{{t^2}}}{2} = 4 - t\]

t² + 2t ‒ 8 = 0

t = ‒4 hoặc t = 2

⦁ Với t = ‒4 ta có:

 \[x\sqrt {2{x^2} + 4} = - 4\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - x\sqrt {2{x^2} + 4} = 4\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{\left( { - x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {4^2}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 16\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^4} + 2{x^2} - 8 = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} = 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[x = - \sqrt 2 \]

⦁ Với t = 2 ta có:

\[x\sqrt {2{x^2} + 4} = 2\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {2^2}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 4\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^4} + 2{x^2} - 2 = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = \sqrt 3 - 1\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[x = \sqrt {\sqrt 3 - 1} \]

Vậy phương trình có 2 nghiệm \[x = - \sqrt 2 \]; \[x = \sqrt {\sqrt 3 - 1} \].

(x² + 4y² + 28)² = 17(x⁴ + y⁴ + 14y² + 49)

[x² + 4(y² + 7)]² = 17[x⁴ + (y² + 7)²]

x⁴ + 8x²(y² + 7) + 16(y² + 7)² = 17x⁴ + 17(y² + 7)²

16x⁴ − 8x²(y² + 7) + (y² + 7)² = 0

[4x² − (y² + 7)]² = 0

4x² − y² − 7 = 0

(2x + y)(2x − y) = 7

Vì x, y nguyên dương nên 2x + y > 0 và 2x + y > 2x − y

Do đó 2x + y = 7 và 2x − y = 1.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=3.\end{array}\right.$

Vậy x = 2, y = 3.

Gọi ƯCLN(x, y) = d (d ∈ ℕ^*).

Khi đó tồn tại số tự nhiên a và b để x = da, y = db và (a, b) = 1.

Ta có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{a^2} + p{d^2}{b^2}}}{{{d^2}ab}} = \frac{{{a^2} + p{b^2}}}{{ab}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Từ đó ta được a² + pb² ⋮ ab, suy ra a² + pb² ⋮ b, suy ra a² ⋮ b.

Do (a, b) = 1 nên suy ra ta được b = 1. Suy ra a² + p ⋮ a, suy ra p ⋮ a.

Do p là số nguyên tố nên ta được a = 1 hoặc a = p.

⦁ Với a = 1, khi đó ta được x = y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2} + p{d^2}}}{{{d^2}}} = p + 1\]

⦁ Với a = p, khi đó ta được a = dp; y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{p^2} + p{d^2}}}{{{d^2}p}} = p + 1\]

Vậy ta luôn có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = p + 1\].

(x² + x ‒ 1)² + 4x² + 4x

= x⁴ + x² + 1 + 2x³ ‒ 2x ‒ 2x² + 4x² + 4x

= x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1

\[ = {x^2}\left( {{x^2} + 2x + 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\]

\[ = {x^2}\left[ {\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 2x + 1 + \frac{2}{x}} \right]\]

\[ = {x^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2 \cdot \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1} \right]\]

\[ = {x^2}{\left( {x + \frac{1}{x} + 1} \right)^2} = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}2y({x^2} - {y^2}) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

⦁ Xét trường hợp đặc biệt:

Nếu x = 0, từ phương trình (1) ta có 2y.(‒y²) = 0, suy ra y = 0.

Thay x = 0, y = 0 vào phương trình (2), ta được 0.0 = 0 (luôn đúng).

Như vậy, cặp số (0; 0) là một nghiệm của hệ.

⦁ Xét trường hợp xy ≠ 0.

Chia phương trình (1) cho phương trình (2), ta được:

\[\frac{{2y\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{{3x}}{{10y}}\]

20y²(x² ‒ y²) = 3x²(x² + y²)

20x²y² ‒ 20y⁴ = 3x⁴ + 3x²y²

3x⁴ ‒ 17x²y² + 20y⁴ = 0

3x⁴ – 12x²y² – 5x²y² + 20y⁴ = 0

3x²(x² – 4y²) – 5y²(x² – 4y²) = 0

(x² – 4y²)(3x² – 5y²) = 0

x² = 4y² hoặc \[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\]

+) Với x² = 4y², ta có x = 2y hoặc x = –2y

⦁ Thế x = 2y vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

2y[(2y)² + y²] = 10y

2y.5y² = 10y

10y³ = 10y

y³ – y = 0

y(y² ‒ 1) = 0

y = 0 (loại) hoặc y = 1 (thỏa mãn) hoặc y = ‒1 (thỏa mãn).

Khi y = 1, ta có x = 2.

Khi y = ‒1, ta có x = ‒2.

Do đó (2; 1), (‒2; ‒1) là các nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thế x = ‒2y vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

‒2y[(‒2y)² + y²] = 10y

‒2y.5y² = 10y

‒10y³ = 10y

y³ + y = 0

y(y² + 1) = 0

y = 0 (loại) và y² + 1 = 0 (vô lí).

Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.

+) Với \[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\], ta có \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] hoặc \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \].

⦁ Thế \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

\[y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( {y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]

\[y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]

\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} - 10y = 0\]

\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} - 5} \right) = 0\]

y = 0 (loại) hoặc \[{y^2} = \frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}\]

Suy ra: \[y = \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \] hoặc \[y = - \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \]

Khi \[y = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].

Khi \[y = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].

Do đó \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right);\,\,\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\] là hai nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thế \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x² + y²) = 10y, ta được:

\[ - y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( { - y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]

\[ - y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]

\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} + 10y = 0\]

\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5} \right) = 0\]

y = 0 (loại) và \[\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5 = 0\] (vô lí).

Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là (0; 0), (2; 1), (‒2; ‒1), \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\], \[\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\].

⦁ Xét vế phải của phương trình:

y⁴ ‒ 6y⁵ + 11y² ‒ 6y

= y(y³ ‒ 6y² + 11y ‒ 6)

= y(y³ – y² – 5y² + 5y + 6y – 6)

= y[y²(y – 1) – 5y(y – 1) + 6(y – 1)]

= y (y – 1)(y² – 5y + 6)

= y(y – 1)(y² – 2y – 3y + 6)

= y(y – 1)[y(y – 2) – 3(y – 2)]

= y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).

Vậy ta có (x ‒ 2018)² = y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).

⦁ Tìm giá trị của y:

Vì (x ‒ 2018)² ≥ 0 là số chính phương, nên y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) cũng là số chính phương không âm. Ta xét các trường hợp:

Nếu y ≤ 0 hoặc y ≥ 3 thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) sẽ không phải là số chính phương.

Nếu y = 1, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018

Nếu y = 2, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018.

Vậy ta có hai cặp nghiệm là (2018; 1) và (2018; 2).

(x ‒ 5)(x ‒ 7) = 0

x ‒ 5 = 0 hoặc x ‒ 7 = 0

x = 5 hoặc x = 7

Vậy x = 5, x = 7.

(x + y)³ ‒ x(x + y)² = (x + y)²(x + y ‒ x) = (x + y)²y.

Vì 3n luôn chia hết cho n nên để 3n + 7 chia hết cho n thì ta cần 7 chia hết cho n.

Suy ra n ∈ Ư(7) = {1; –1; 7; –7}.

Mà n là số tự nhiên nên n ∈ {1; 7}. 

Ta có: A∖B = {1; 2} nên tập hợp A có các phần tử 1; 2.

           A ∩ B = {3; 4} nên tập hợp A có các phần tử 3; 4.

Suy ra A = {1; 2; 3; 4}.

Vậy A có 4 phần tử.

[504 ‒ (5².8 + 70) : 3³ + 6] : 125

= [504 ‒ (25.8 + 70) : 27 + 6] : 125

= [504 ‒ (200 + 70) : 27 + 6] : 125

= [504 ‒ 270 : 27 + 6] : 125

= [504 ‒ 10 + 6] : 125

= 500 : 125 

= 4.

\[\sqrt {3 - \sqrt 5 } + \sqrt {3 + \sqrt 5 } \]

\[ = \frac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 2 }}\]

\[ = \frac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} + \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} }}{{\sqrt 2 }}\]

\[ = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}\]

\[ = \frac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right| + \left| {\sqrt 5 + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\]

\[ = \frac{{\sqrt 5 - 1 + \sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 2 }}\]

\[ = \frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {10} .\]

Ta có \[\left| {2x - 1} \right| \ge 0,\,\,\,\,\,\left| {x + \frac{1}{3}} \right| = 0 \ge 0\] với mọi x.

Do đó để \[\left| {2x - 1} \right| + \left| {x + \frac{1}{3}} \right| = 0\] thì ta cần:

2x ‒ 1 = 0 và \[x + \frac{1}{3} = 0\]

\[x = \frac{1}{2}\] và \[x = - \frac{1}{3}\]

Vậy không có giá trị của x thỏa mãn.

Điều kiện xác định: \(x \ge - \frac{1}{2}.\)

\[\sqrt {2x + 1} + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} - \sqrt 2 = 0\]

\[\left( {\sqrt {2x + 1} - \sqrt 2 } \right) + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 0\]

\[\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 0\]

\[\left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} } \right) = 0\]

\(2x - 1 = 0\) (1) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} = 0\] (2)

¬ Giải phương trình (1):

\(2x - 1 = 0\)

\(2x = 1\)

\(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

¬ Giải phương trình (2):

\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} = 0\]

\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} = \sqrt {{x^2} + 4} .\] (3)

Với \(x \ge - \frac{1}{2}\) ta có:

⦁ \[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\frac{5}{2}}} = \frac{{4 + 5\sqrt 2 }}{{10}} < 2.\]

⦁ \[\sqrt {{x^2} + 4} \ge \sqrt 4 = 2.\]

Do đó phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{1}{2}.\)

Điều kiện xác định: 3x ‒ 2 ≥ 0 và x + 3 ≥ 0, hay \[x \ge \frac{2}{3}\] và x ≥ ‒3, tức là \[x \ge \frac{2}{3}\].

\[\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} = {x^3} + 3x - 1\]

\[\sqrt {3x - 2} - 1 + \sqrt {x + 3} - 2 = {x^3} + 3x - 4\]

\[\frac{{3x - 3}}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - x - 4} \right) = 0\]

\(x - 1 = 0\) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - x - 4 = 0\]

\(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = x + 4\] (*)

Xét phương trình (*): Với \[x \ge \frac{2}{3}\] ta có

⦁ \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le \frac{1}{1} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{3} + 3} + 2}} = 7 - \sqrt {33} < 2\]

⦁ \(x + 4 \ge \frac{2}{3} + 4 > 4.\)

Do đó phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1.\)

Ta có: \[0,1 = \frac{1}{{10}}\].

Ta có: \[0,125 = \frac{{125}}{{1000}} = \frac{{125:125}}{{1000:125}} = \frac{1}{8}\].

Ta có: 0,001 tấn = 0,01 tạ.

Ta có: 0,25 × 56 = 14.

70 ‒ 5(x ‒ 3) = 45

5(x ‒ 3) = 25

x ‒ 3 = 5

x = 8

Vậy x = 8.

Ta có: \[0,5 = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}.\]

x × 0,5 = 1,05 − x

x × 0,5 + x = 1,05

x × (0,5 + 1) = 1,05

x × 1,5 = 1,05

x = 1,05 : 1,5

x = 0,7

Vậy x = 0,7.

Ta có: \[0,2 = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.\]

S = 1 × 2 + 2 × 3 + ... + 99 × 100

3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × (4 ‒ 1) + ..... + 99 × 100 × (101 ‒ 98)

3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ‒ 1 × 2 × 3 + .... + 99 × 100 × 101 ‒ 98 × 99 × 100

3S = 99 × 100 × 101 = 999900

S = 999900 : 3 = 333300.

Ta có

\[B = 1 + \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 2} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {1 + 2 + 3} \right) + ... + \frac{1}{x}\left( {1 + 2 + 3 + ... + x} \right)\]

\[ = 1 \cdot \left( {\frac{{1 \cdot 2}}{2}} \right) + \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{2 \cdot 3}}{2}} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{3 \cdot 4}}{2}} \right) + ... + \frac{1}{x}\left[ {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2}} \right]\]

\[ = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + ... + \frac{{x + 1}}{2}\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {2 + 3 + 4 + ... + \left( {x + 1} \right)} \right]\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{2}} \right]\]

Từ B = 115 ta có:

\[\frac{1}{2}\left[ {\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{2}} \right] = 115\]

x(x + 3) = 460

Mà x là số nguyên dương, x và x + 3 cách nhau 3 đơn vị, lại có 20.23 = 460.

Vậy x = 20.

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương. 

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương.

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương.

Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0. Do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương. 

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= (1 + 9) + (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) + 5

= 10 + 10 + 10 + 10 + 5

= 10 × 4 + 5

= 40 + 5

= 45.

Đặt A = 1 + 2 ‒ 3 ‒ 4 + 5 + 6 ‒ 7 ‒ 8 + ... + 2013 + 2014 ‒ 2015 ‒ 2016 + 2017 + 2018.

Tổng A có số các số hạng là:

(2018 ‒ 1) : 1 + 1= 2018 (số hạng).

Ta ghép 4 số hạng vào 1 nhóm được tất cả 504 nhóm và còn thừa 2 số hạng.

A = (1 + 2 ‒ 3 ‒ 4) + (5 + 6 ‒ 7 ‒ 8) + ... + (2013 + 2014 ‒ 2015 ‒ 2016) + (2017 + 2018).

A = (‒4) + (‒4) + ... + (‒4) + 4035.

A = (‒4) × 504 + 4035.

A = (‒2016) + 4035.

A = 2019.

1 ‒ 3 + 5 ‒ 7 + 9 ‒ 11 + ... + 97 ‒ 99                    (50 số hạng)

= ‒2 + (‒2) + (‒2) + (‒2) + ... + (‒2)                    (có 25 số ‒2)

= ‒2.25

= ‒50.

⦁ B = 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰¹⁰

= (3 + 3²) + (3³ + 3⁴) + ..... + (3²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

= 3(1 + 3) + 3³(1 + 3) + ...... + 3²⁰⁰⁹(1 + 3)

= 3.4 + 3³.4 +......+ 3²⁰⁰⁹.4

= 4.(3 + 3³ + .... + 3²⁰⁰⁹) chia hết cho 4.

⦁ B = 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰¹⁰

= (3 + 3² + 3³) + ... + (3²⁰⁰⁸ + 3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰)

= 3(1 + 3 + 9) + ... + 3²⁰⁰⁸(1 + 3 + 9)

= 3.13 + ... + 3²⁰⁰⁸.13

= 13(3 +...+ 3²⁰⁰⁸) chia hết cho 13.

Vậy B chia hết cho 4 và 13.

a) Chiều dài của cái thùng đó là:

1,5 : (7 ‒ 4) × 7 = 3,5 (m).

Chiều rộng của cái thùng đó là:

3,5 ‒ 1,5 = 2 (m).

Diện tích xung quanh của cái thùng đó là:

(3,5 + 2) × 2 × 1,8 = 19,8 (m²).

Diện tích toàn phần của cái thùng là:

19,8 + (3,5 × 2 × 2) = 33,8 (m²).

b) 33,8 m² gấp 4 m² số lần là:

33,8 : 4 = 8,45 (lần).

Số kg sơn để sơn thùng là:

1 × 8,45 = 8,45 (kg).

Đáp số: a) 33,8 m² 

             b) 8,45 kg sơn.

Ta có: 1 giây = 60 tích tắc.

Phân số chỉ diện tích làm lối đi và trồng cây là: 

\[1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\]​ (diện tích khu đất)

Diện tích làm lối đi và trồng cây là:

\[6,5 \times \frac{1}{5} = 1,3\] (ha)

1,3 ha  = 13 000 m².

Đáp số: 13 000 m².

Tổng số phần bằng nhau là:

3 + 4 = 7 (phần)

Lớp học đó có số học sinh nữ là:

(35 : 7) × 4 = 20 (học sinh nữ)

Lớp học đó có số học sinh nam là:

35 ‒ 20 = 15 (học sinh nam)

Đáp số: 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam.

Mỗi cái áo mất thời gian may là:

10 : 5 = 2 (giờ)

Trong 8 giờ người đó may được số cái áo là:

8 : 2 = 4 (cái áo)

Trong 3 ngày người đó may số cái áo là:

4 × 3 = 12 (cái áo)

\[\frac{1}{4}\]của 8 là: \[8 \cdot \frac{1}{4} = 2.\]

S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 38 × 39 + 39 × 40

3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ... + 38 × 39 × 3 + 39 × 40 × 3

3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × (4 ‒ 1) + 3 × 4 × (5 ‒ 2) + ... + 38 × 39× (40 ‒ 37) + 39 × 40 × (41 ‒ 38)

3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ‒ 1 × 2 × 3 + 3 × 4 × 5 ‒ 2 × 3 × 4 + ... + 38 × 39 × 40 ‒ 37 × 38 × 39 + 39 × 40 × 41 ‒ 38 × 39 × 40

3S = 39 × 40 × 41

Suy ra S = (39 × 40 × 41) : 3

Vậy S = 21 320.

Ta có 1 + x + x² + x³ = y³

Suy ra \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} + {x^3} = {y^3}\]

Do đó y³ > x³.

Xét hiệu:

y³ − (x + 2)³ = x³ + x² + x + 1 − x³ − 6x² − 12x − 8

= −5x² − 11x − 7

\[ = - 5{\left( {x + \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} - \frac{{19}}{{20}} < 0\] với mọi x.

Suy ra y³ < (x + 2)³

Tóm lại x³ < y³ < (x + 2)³

Mà x; y nguyên nên y = x + 1.

Thế vào phương trình ban đầu, ta được:

1 + x + x² + x³ = x³ + 3x² + 3x + 1

Suy ra 2x² + 2x = 0

2x(x + 1) = 0

x = 0 hoặc x + 1 = 0

x = 0 hoặc x = ‒1

Với x = 0, suy ra y = 1

Với x = ‒1, suy ra y = 0.

Vậy các nghiệm nguyên cần tìm là: (0; 1); (‒1; 0).

a) Quãng đường s₁ = 90km, thời gian t₁ = 2h

Tốc độ trên đoạn đường đầu là:

\[{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{{t_1}}} = \frac{{90}}{2} = 45\](km/h)

Quãng đường s₂ = 30km, thời gian t₁ = 0,5h

Tốc độ trên đoạn đường thứ hai là:

\[{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{{t_2}}} = \frac{{30}}{{0,5}} = 60\](km/h)

b) Thời gian nghỉ sửa xe là 30 phút = 0,5 giờ

Tổng thời gian là:

T = t₁ + t₂ + t_nghỉ = 2h + 0,5h + 0,5h = 3h

Tổng quãng đường là:

S = s₁ + s₂ = 90 + 30 = 120 km

Tốc độ trung bình trên cả quãng đường là:

\[{v_{tb}} = \frac{S}{T} = \frac{{120}}{3} = 40\] (km/h)

Vậy tốc độ của ô tô trên đoạn đường đầu là 45km/h, tốc độ trên đoạn đường thứ hai là 60km/h.

Tốc độ trung bình của ô tô trên cả quãng đường là 40km/h.

Ta có: \[1,25 = \frac{{125}}{{100}} = \frac{5}{4}.\]

Vậy 1,25 là số hữu tỉ.

Ta có: \[1,4 = \frac{{140}}{{100}} = 14\% .\]

Quy luật của dãy số là số đằng sau bằng gấp đôi số đằng trước rồi cộng thêm với 3.

1 × 2 + 3 = 5

5 × 2 + 3 = 13

13 × 2 + 3 = 29

29 × 2 + 3 = 61

61 × 2 + 3 = 125

Số tiếp theo là 125.

Ta có: 1 ha = 10 000m²

Nên 1,5 ha = 15 000 m².

Ta có: 1,2 × 5 = 6.

Đặt A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ... + 98.99.100

4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ... + 98.99.100).4

4A = 1.2.3(4 ‒ 0) + 2.3.4(5 ‒ 1) + 3.4.5(6 ‒ 2) + 4.5.6(7 ‒ 3) + ... + 98.99.100(101 ‒ 97)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 ‒ 1.2.3.4 + 3.4.5.6 ‒ 2.3.4.5 + 4.5.6.7 ‒ 3.4.5.6 + ... + 98.99.100.101 ‒ 97.98.99.100

4A = 1.2.3.4 ‒ 1.2.3.4 + 2.3.4.5 ‒ 2.3.4.5 + 3.4.5.6 ‒ 3.4.5.6 + ... + 97.98.99.100 ‒ 97.98.99.100 + 98.99.100.101

4A = 98.99.100.101

Suy ra A = 98.99.100.101 :  4 = 24 497 550.

1,8(3) viết phân số như sau:

\[1,8\left( 3 \right) = 1,8 + \frac{1}{{10}} \times \frac{1}{9} \times 3\]

\[ = \frac{9}{5} + \left( {\frac{1}{{10}} \times \frac{1}{9} \times 3} \right)\]

\[ = \frac{9}{5} + \frac{1}{{30}}\]

\[ = \frac{{54 + 1}}{{30}}\]

\[ = \frac{{55}}{{30}} = \frac{{11}}{6}.\]

Với n ∈ ℕ và n > 1, ta có:

\[\frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} = n \cdot \frac{1}{{\sqrt n }} = \sqrt n .\]                                                                                                

Ta có:

\[\frac{1}{{2\sqrt 2 }} < \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 1 }}{{2 - 1}} = \sqrt 2 - \sqrt 1 .\]

\[\frac{1}{{2\sqrt 3 }} < \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{3 - 2}} = \sqrt 3 - \sqrt 2 .\]

\[\frac{1}{{2\sqrt 4 }} < \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} = \frac{{\sqrt 4 - \sqrt 3 }}{{4 - 3}} = \sqrt 4 - \sqrt 3 .\]

...

\[\frac{1}{{2\sqrt {100} }} = \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }} = \frac{{\sqrt {100} - \sqrt {99} }}{{100 - 99}} = \sqrt {100} - \sqrt {99} .\]

Suy ra \[\frac{A}{2} < \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {100} - \sqrt {99} = \sqrt {100} - \sqrt 1 = 10 - 1 = 9.\]

Do đó A < 18.

Vậy A < 18.

Đặt \[A = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\]\[ = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} + xy\]

Đặt x = a; \[\frac{y}{2} = b\] suy ra \[ab = \frac{{xy}}{2} \ge 1\]

\[A = \frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + 2ab\]

\[A \ge \frac{1}{{ab + {a^2}}} + \frac{1}{{ab + {b^2}}} + 2ab\]

\[ = \frac{1}{{a\left( {a + b} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]

\[ = \frac{{a + b}}{{ab\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]

\[ = \frac{1}{{ab}} + 2ab = \frac{1}{{ab}} + ab + ab \ge 2 + 1 = 3\]

(Vì \[\frac{1}{{ab}} + ab \ge 2\] với mọi a.b ≥ 1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.

\[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{49 \cdot 50}}\]

\[ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\]

\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{50}}} \right)\]

\[ = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{50}}} \right) \cdot 2\]

\[ = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{25}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{{26}} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{28}} + ... + \frac{1}{{50}}\]

Vậy \[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{49 \cdot 50}} = \frac{1}{{26}} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{28}} + ... + \frac{1}{{50}}.\]

\[2A = \frac{2}{{1 \cdot 3}} - \frac{2}{{3 \cdot 5}} - \frac{2}{{5 \cdot 7}} - ... - \frac{2}{{47 \cdot 49}} - \frac{1}{{49 \cdot 51}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{47}} - \frac{1}{{49}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{{49}} = \frac{{48}}{{49}}\]

Suy ra \[A = \frac{{48}}{{49}}:2 = \frac{{24}}{{49}}.\]

\[A = \frac{1}{{1 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 10}} + ... + \frac{1}{{94 \cdot 97}}\]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{3}{{1 \cdot 4}} + \frac{3}{{4 \cdot 7}} + \frac{3}{{7 \cdot 10}} + ... + \frac{3}{{94 \cdot 97}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{94}} - \frac{1}{{97}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{97}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{{96}}{{97}} = \frac{{32}}{{97}}.\]

Ta có: \[S = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2025}^2}}}\]

\[S < \frac{1}{{{3^2} - 1}} + \frac{1}{{{5^2} - 1}} + \frac{1}{{{7^2} - 1}} + ... + \frac{1}{{{{2025}^2} - 1}}\]

\[S < \frac{1}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {3 + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {5 - 1} \right)\left( {5 + 1} \right)}} + ... + \frac{1}{{\left( {2025 - 1} \right)\left( {2025 + 1} \right)}}\]

\[S < \frac{1}{{2 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{2024 \cdot 2026}}\]

\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{2}{{2 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 6}} + ... + \frac{2}{{2024 \cdot 2026}}} \right)\]

\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2026}}} \right)\]

\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2026}}} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{{4052}} < 1.\]

Vậy S < 1.

Ta có: \[\frac{1}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{49}}{{99}}\]

Suy ra \[\frac{2}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = 2 \cdot \frac{{49}}{{99}}\]

\[1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2x - 1}} - \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{{98}}{{99}}\]

\[1 - \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{{98}}{{99}}\]

\[\frac{1}{{2x + 1}} = \frac{1}{{99}}\]

2x + 1 = 99

2x = 98

x = 98 : 2

x = 49

Vậy x = 49.

Đặt S = 1 + 2 + ...+ n.

Số số hạng của dãy số trên là: (n ‒ 1) : 1 + 1 = n

Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều ta có tổng trên là:

S = (n + 1) × n : 2.

Áp dụng công thức tính tổng S trên vào biểu thức A ta có:

\[A = \frac{1}{{\left( {2 + 1} \right) \times 2:2}} + \frac{1}{{\left( {3 + 1} \right) \times 3:2}} + ... + \frac{1}{{\left( {2020 + 1} \right) \times 2020:2}}\]

\[ = \frac{1}{{2 \times 3:2}} + \frac{1}{{3 \times 4:2}} + \frac{1}{{4 \times 5:2}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021:2}}\]

\[ = \frac{2}{{2 \times 3}} + \frac{2}{{3 \times 4}} + \frac{2}{{4 \times 5}} + ... + \frac{2}{{2020 \times 2021}}\]

\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021}}} \right)\]

\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]

\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]

\[ = 1 - \frac{2}{{2021}}\]

\[ = \frac{{2021 - 2}}{{2021}} = \frac{{2019}}{{2021}}.\]

Ta có:

\[\frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}.\]

\[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2023}}{{2025}}\]

\[\frac{2}{2} + \frac{2}{6} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{4048}}{{2025}}\]

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]

\[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{x \cdot \left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]

\[1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]

\[1 - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]

\[\frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{{2025}}\]

x + 1 = 2025

x = 2025 ‒ 1

x = 2024

Vậy x = 2024.

Ta có: \[1,47 = \frac{{147}}{{100}} \cdot 100\% = 147\% \].

Ta có:

\[5S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}\]

\[5S - S = \left( {1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{100}}}}} \right)\]

\[4S = 1 - \frac{1}{{{5^{100}}}} = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{{5^{100}}}}\]

Suy ra \[S = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{4 \cdot {5^{100}}}}.\]

Ta có: \[\frac{1}{{{5^2}}} < \frac{1}{{4 \cdot 5}};\frac{1}{{{6^2}}} < \frac{1}{{5 \cdot 6}};...;\frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{99 \cdot 100}}\]

Cộng vế với vế ta được:

\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\]

\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\]

\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{{100}} = \frac{6}{{25}} < \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\left( 1 \right)\]

Ta có: \[\frac{1}{{{5^2}}} > \frac{1}{{5 \cdot 6}};\frac{1}{{{6^2}}} > \frac{1}{{6 \cdot 7}};...;\frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{100 \cdot 101}}\]

Cộng vế với vế ta được:

\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{5 \cdot 6}} + \frac{1}{{6 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{100 \cdot 101}}\]

\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\]

\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{{101}} = \frac{{96}}{{505}} > \frac{{96}}{{576}} = \frac{1}{6}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{1}{6} < \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4}\].

\[\frac{1}{9} \times {27^n} = {3^n}\]

\[\frac{1}{9} = \frac{{{3^n}}}{{{{27}^n}}}\]

\[\frac{1}{9} = {\left( {\frac{3}{{27}}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^n}\]