Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 11+x2+4y2+4+xy với xy ≥ 2.

Câu hỏi:

19/08/2025 218

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{4}{y^{2} + 4} + xy$ với xy ≥ 2.

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \[A = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\]\[ = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} + xy\]

Đặt x = a; \[\frac{y}{2} = b\] suy ra \[ab = \frac{{xy}}{2} \ge 1\]

\[A = \frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + 2ab\]

\[A \ge \frac{1}{{ab + {a^2}}} + \frac{1}{{ab + {b^2}}} + 2ab\]

\[ = \frac{1}{{a\left( {a + b} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]

\[ = \frac{{a + b}}{{ab\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]

\[ = \frac{1}{{ab}} + 2ab = \frac{1}{{ab}} + ab + ab \ge 2 + 1 = 3\]

(Vì \[\frac{1}{{ab}} + ab \ge 2\] với mọi a.b ≥ 1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[0,5 = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}.\]

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

1 giờ = 60 phút

1000 phút \[ = \frac{{1000}}{{60}}\] giờ ≈ 16,67 giờ.

Câu 3