10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 48

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore có: AB² = AC² + BC²

Suy ra \(AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1,5\) (cm).

Ta có \[\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = 0,6;\,\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = 0,8;\]

\[\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = 0,75;\,\,\,\tan B = \frac{{\cos B}}{{\sin B}} = \frac{{0,8}}{{0,6}} = \frac{4}{3}.\]

Ta có: sin²α + cos²α = 1 nên \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}.\]

Mà 0 < cosα < 1 nên \(cos\alpha = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.\)

Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}}} = 2\sqrt 6 .\)

Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x - 3y = - 7\\ - 3x + 2y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\] có a = – 2; b = – 3; a’ = – 3; b = 2.

Xét \[\frac{a}{{a'}} = \frac{{ - 2}}{{ - 3}} = \frac{2}{3};\,\frac{b}{{b'}} = \frac{{ - 3}}{2} \Rightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\mx + y = 2m\,\end{array} \right.\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ \[\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\]

\[\frac{1}{m} \ne \frac{1}{1} \Rightarrow 1.1 \ne m.1 \Rightarrow m \ne 1\].

Vậy \[m \ne 1\] thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

a) \[\sqrt {32} + \sqrt {50} - 2\sqrt 8 + \sqrt {18} = 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 4\sqrt 2 + 3\sqrt 2 = \left( {4 + 5 - 4 + 3} \right)\sqrt 2 = 8\sqrt 2 \]

b) \[\sqrt {{{\left( {1 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \]

\[ = \sqrt {{{\left( {1 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {1 - 2\sqrt 3 } \right| - \left| {1 + \sqrt 3 } \right| = 2\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 = \sqrt 3 - 2\].

a) Rút gọn biểu thức

\[P = \left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\] (đk: x > 0)

\[ = \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\]

\[ = \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{x - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\]

\[\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\]

b) Ta có: \[x = \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{4 - 3}} = 4 - 2\sqrt 3 \]

Thay \[x = 4 - 2\sqrt 3 \]vào biểu thức P, ta được:

\[P = \frac{{{{\left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{{{\left( {\left| {\sqrt 3 - 1} \right| + 1} \right)}^2}}}{{\left| {\sqrt 3 - 1} \right|}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1 + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{3}{{\sqrt 3 - 1}}\].

Giá trị của P khi \[x = \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }}\] là \[\frac{3}{{\sqrt 3 - 1}}\].

c) Xét \[\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} + 2\sqrt x + 1 - 6\sqrt x + 3 + \sqrt {x - 4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} + \sqrt {x - 4} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 = 0\\\sqrt {x - 4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\]

Vậy x = 4 để \[P\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \].

a) Vì S = 12, P = 7 thỏa mãn \[{S^2} \ge 4P\] nên tồn tại hai số cần tìm.

Hai số đó là nghiệm của phương trình x² – 12x + 7 = 0

∆ = (– 12)² – 4.7 = 144 – 28 = 116 > 0.

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

\[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{12 + \sqrt {116} }}{2} = 6 + \sqrt {29} \]; \[{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{12 - \sqrt {116} }}{2} = 6 - \sqrt {29} \]

Vậy hai số cần tìm là: \[6 \pm \sqrt {29} \].

b) Vì S = – 9, P = 119 thì S2 = 81 < 4P = 4. 119 = 476 nên không tồn tại hai số cần tìm thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Ta có phương trình bậc hai biết nó nhận các số 7 và – 11 là nghiệm.

Xét S = (x₁ + x₂) = (7 – 11) = – 4 và P = x₁.x₂ = 7.(– 11) = – 77.

Ta thấy \[{S^2} \ge 4P\]

Do đó, 7 và – 11 là nghiệm của phương trình: X² + 4X – 77 = 0.