Cho biểu thức \[P = \left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\].

(a) Rút gọn P;

(b) Tính giá trị của P khi \[x = \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }}\];

(c) Tìm x thỏa mãn \[P\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Rút gọn biểu thức

\[P = \left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\] (đk: x > 0)

\[ = \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\]

\[ = \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{x - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\]

\[\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\]

b) Ta có: \[x = \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{4 - 3}} = 4 - 2\sqrt 3 \]

Thay \[x = 4 - 2\sqrt 3 \]vào biểu thức P, ta được:

\[P = \frac{{{{\left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{{{\left( {\left| {\sqrt 3 - 1} \right| + 1} \right)}^2}}}{{\left| {\sqrt 3 - 1} \right|}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1 + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{3}{{\sqrt 3 - 1}}\].

Giá trị của P khi \[x = \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }}\] là \[\frac{3}{{\sqrt 3 - 1}}\].

c) Xét \[\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} + 2\sqrt x + 1 - 6\sqrt x + 3 + \sqrt {x - 4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} + \sqrt {x - 4} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 = 0\\\sqrt {x - 4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\]

Vậy x = 4 để \[P\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C biết rằng \[{\rm{cos}}\,B\,{\rm{ = }}\,\frac{3}{5}\].

Xem đáp án

Lời giải

Xét tam giác ABC có \[\cot B = \sin C = \frac{3}{5}\]

Suy ra \[{\cos ^2}B = \frac{3}{5}.\frac{3}{5} = 0,36\]

Mà cos2B + sin2B = 1 ⇒ sin2B = 1 - = 0,64 ⇔ sinB = 0,8 (vì sinB > 0)

⇒ sinB = cosC = 0,8

Ta có \[\tan C = \frac{{\sin C}}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} C}} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = 0,75\]; \[\cot C = \frac{1}{{\tan C}} = \frac{1}{{0,75}} = \frac{4}{3}\]

Vậy \[\sin C = \frac{3}{5};\,\cos C = 0,8;\,\tan C = 0,75;\,\cot C = \frac{4}{3}\].

Câu 2

Cho tam giác ABC có \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Hình chiếu của cạnh trên BC có độ dài là 4cm, AB dài gấp đôi AC. Tính độ dài AB, AC và \[\widehat {ABC}\].

Xem đáp án

Lời giải

Tạo đường cao AH, HB là hình chiếu của AB trên BC

Xét tam giác AHB có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \], có:

HB = AB.cosB \[ \Rightarrow AB = \frac{{HB}}{{{\rm{cos}}B}} = \frac{4}{{{\rm{cos40}}^\circ }} = 8\left( {cm} \right)\]

AH = AB.sinB = 8. sin60° = \[8.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\]

Theo đề bài ta có: AC = 2AB nên AC = 2.8 = 16 (cm)

Xét tam giác AHC có:

AH = AC.sinC \[ \Rightarrow \sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)\]\[ \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 25^\circ 39'\].

Câu 3