Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^3} - a{x^2} - 9x + b\). Biết rằng đa thức nhận các giá trị \(1\) và \(3\) làm nghiệm. Tìm giá trị của nghiệm còn lại của đa thức \(f\left( x \right).\)

Đáp án: \( - 3\)

Ta có: \(f\left( 1 \right) = {1^3} - a{.1^2} - 9.1 + b = 0\) hay \(b - a = 8\). (1)

          \(f\left( 3 \right) = {3^3} - a{.3^2} - 9.3 + b = 0\) hay \(b - 9a = 0\) (2)

Từ phương trình (2), ta có: \(b = 9a\), thay vào phương trình (1), ta được: \(9a - a = 8\) hay \(8a = 8\).

Suy ra \(a = 1.\)

Do đó, \(b = 9a = 9\).

Lúc này, đa thức \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 9x + 9\)

                               \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right) - 9\left( {x - 1} \right)\)

                            \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {x - 1} \right)\)

Cho \(f\left( x \right) = 0\) nên \(\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\).

TH1: \(x - 1 = 0\) nên \(x = 1.\)

TH2: \({x^2} - 9 = 0\) nên \({x^2} = 9\). Do đó, \(x = 3\) hoặc \(x = - 3\).

Do đó, giá trị nghiệm còn lại của đa thức \(f\left( x \right)\) là \( - 3.\)