Câu hỏi:

12/04/2025 139

Câu 9-11. Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB.\] Gọi \[H\] là điểm nằm giữa \[O\] và \[B.\] Kẻ dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[H.\] Trên cung nhỏ \[AC\] lấy điểm \[E\] bất kỳ \[\left( E \right.\] khác \[A\] và \[\left. C \right).\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[AE\] tại \[K.\] Đường thẳng \[DE\] cắt \[CK\] tại \[F.\]

a) Chứng minh tứ giác \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

2. a) Vì $CK \bot AK$ nên $\widehat {AKC} = 90^\circ .$ Vì $CH \bot AB$ tại \[H\] nên $\widehat {AHC} = 90^\circ .$

Gọi $I$là trung điểm $AC$.

$\Delta AKC$có $KI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$ nên $KI = OA = OC = \frac{1}{2}AC.$

$\Delta AHC$ có $HI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền$AC$ nên $HI = IA = IC = \frac{1}{2}AC.$

Do đó $IA = IK = IC = IH.$

Vậy bốn điểm $A,\,\,H,\,\,C,\,\,K$ cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm $I$ hay tứ giác \[AHCK\] nội tiếp.

$a) Chứng minh tứ giác \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp. (ảnh 1)$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

b) Chứng minh \[KH\] song song với \[ED\] và tam giác \[ACF\] là tam giác cân.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

b) Vì \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {CHK} = \widehat {CAK} = \widehat {CAE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung \[KC).\]

Lại có \[ADCE\]nội tiếp nên $\widehat {CAE} = \widehat {CDE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung \[EC).\]

Từ đó suy ra $\widehat {CHK} = \widehat {CDE}$ nên $HK\,{\rm{//}}\,DE$ (đpcm).

Do $HK\,{\rm{//}}\,DE$, mà \[H\] là trung điểm \[CD\] (quan hệ vuông góc của đường kính \[AB\] với dây \[CD\] tại \[H).\]

Suy ra \[HK\] là đường trung bình của tam giác \[CDF\] nên \[K\] là trung điểm \[FC\].

Tam giác \[AFC\] có \[AK\] là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.

Do đó tam giác \[CAF\]là tam giác cân tại \[K\] (đpcm).

Câu 3:

c) Tìm vị trí của điểm \[E\] để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

c) Tam giác \[FAC\] cân tại \[A\] nên \[AF = AC.\]

Dễ thấy tam giác \[ACD\] cân tại \[A\] nên \[AC = AD\].

Từ đó suy ra \[AF = AD\] hay tam giác \[AFD\] cân tại \[A\], hạ \[DI \bot AF\] .

Ta có ${S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC$.

Do \[AC\] không đổi nên ${S_{AFD}}$ lớn nhất khi và chỉ khi \[DI\] lớn nhất.

Trong tam giác vuông \[AID\] ta có:

$ID \le AD = AC$ hay ${S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC \le \frac{{A{C^2}}}{2}$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $I \equiv A$, khi đó \[\widehat {DAF} = 90^\circ \] nên tam giác \[ADF\] vuông cân tại \[A\], suy ra $\widehat {EBA} = \widehat {EDA} = 45^\circ $ hay \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]

Vậy để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất thì \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

a) Tính thể tích nước trong cốc.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thể tích nước trong cốc là:

${V_1} = \pi {r^2}\;h = \pi \cdot {12^2} \cdot 10 = 1440\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).$

Vậy thể tích nước trong cốc là $1440\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.$

Câu 2

a) Tính số phần tử của không gian mẫu

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có bảng sau:

Lần 2 Lần 1	1	2	3	4
1	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)

Không gian mẫu là:

\[\Omega = \left\{ {\left( {1\,,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,2} \right);{\rm{ }}\left( {2\,,\,\,3} \right);{\rm{ }}\left( {2\,,\,\,4} \right);{\rm{ }}\left( {3\,,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {3\,,\,\,2} \right)} \right.\,;\,\,\left( {3\,,\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {3\,,\,\,4} \right)\,;{\rm{ }}\] \[\left. {\left( {4\,,\,\,1} \right);\,\,\left( {4\,,\,\,2} \right);\,\,\left( {4\,,\,\,3} \right);\,\,\left( {4\,,\,\,4} \right)} \right\}.\]

Do đó, số phần tử của $\Omega $ là 16.

Câu 3