Câu hỏi:

24/04/2025 209

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 95 đến 98

Một giải đấu bóng đá quốc tế có sáu đội tham gia: A, B, C, D, E, F. Các trận đấu được tổ chức trong ba ngày liên tiếp: Thứ Ba, Thứ Tư, Thứ Năm; mỗi ngày có hai trận, một trận vào buổi sáng và một trận vào buổi chiều. Lịch thi đấu tuân thủ các quy định sau:

Đội A phải thi đấu vào buổi sáng, cùng ngày với đội B hoặc D.

Đội E phải thi đấu vào buổi chiều, cùng ngày với đội C hoặc F.

Đội D phải thi đấu trước ngày thi đấu của đội B và C.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

B. Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

C. Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

D. Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ vuông góc với nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 17) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua ${M_1}\left( {1; - 1;3} \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua ${M_2}\left( {2;3; - 9} \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;2; - 2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left( { - 1; - 4;12} \right),{\rm{ }}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2; - 1; - 4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_2}{M_1}} = - 42 \ne 0$.

Suy ra hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Chọn C.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là:

A. $2\sqrt {21} $.

B. $\sqrt {21} $.

C. $\frac{{\sqrt {21} }}{2}$.

D. $\frac{{\sqrt {21} }}{4}$.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là:

$d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{42}}{{\sqrt {21} }} = 2\sqrt {21} $. Chọn A.

Câu 3:

Hai điểm $A,B$ thay đổi trên ${\Delta _1}$ sao cho $AB = 3$. Tọa độ điểm C trên đường thẳng ${\Delta _2}$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích nhỏ nhất là:

A. $\left( {3\,;\,3\,;\,1} \right)$.

B. $\left( { - 1\,;\,1\,;\, - 7} \right)$.

C. $\left( { - 1\,;\,1\,;\, - 6} \right)$.

D. $\left( {5\,;\,5\,;\, - 11} \right)$.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên đường thẳng ${\Delta _1}$, khi đó ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CH \cdot AB = \frac{3}{2}CH$.

Do đó tam giác $ABC$ có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi $CH$ nhỏ nhất hay $CH$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$.

Ta có $H \in {\Delta _1}$ nên $H\left( {1 + t; - 1 + 2t;3 - t} \right)$, $C \in {\Delta _2}$ nên ${\rm{C}}\left( {2 + 3t';3 + 2t'; - 9 - 2t'} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {CH} = \left( {t - 3t' - 1;2t - 2t' - 4; - t + 2t' + 12} \right)$.

Mà $\{\begin{cases} CH ⊥ Δ_{1} \\ CH ⊥ Δ_{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{CH} \cdot \vec{u_{1}} = 0 \\ \vec{CH} \cdot \vec{u_{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 t - 3 t^{'} = 7 \\ 9 t - 17 t^{'} = 35 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 2 \\ t^{'} = - 1 \end{cases}$

Vậy $C\left( { - 1\,;\,1\,;\, - 7} \right)$ là điểm cần tìm. Chọn B.

Câu 4:

Phương trình đường thẳng $d$ cắt hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt tại $M,N$ thỏa mãn $MN = 6\sqrt 5 $ và $d$ tạo với ${\Delta _1}$ một góc $\alpha $ sao cho $\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{{15}}} $ là:

A. $\frac{{x + 7}}{4} = \frac{{y + 11}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{2}$.

B. $\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{{ - 5}} = \frac{{z + 3}}{2}$.

C. $\frac{{x + 7}}{4} = \frac{{y + 11}}{5} = \frac{{z - 3}}{2}$.

D. $\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{5} = \frac{{z + 3}}{2}$.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Vì $M \in {\Delta _1},N \in {\Delta _2}$ nên suy ra $M\left( {1 + a; - 1 + 2a;3 - a} \right),{\rm{ }}N\left( {2 + 3b;3 + 2b; - 9 - 2b} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {NM} = \left( {a - 3b - 1;2a - 2b - 4; - a + 2b + 12} \right)$.

Theo giả thiết của bài toán, ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {a - 3b - 1} \right)^2} + {\left( {2a - 2b - 4} \right)^2} + {\left( {a - 2b - 12} \right)^2} = 180\\\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {{u_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3\left( {2a - 3b - 7} \right)} \right|}}{{6\sqrt {30} }} = \sqrt {\frac{8}{{15}}} \end{array} \right.\]

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(a - 3 b - 1)}^{2} + {(2 a - 2 b - 4)}^{2} + {(a - 2 b - 12)}^{2} = 180 (1) \\ |2 a - 3 b - 7| = 8 (2) \end{cases}$

Ta có $(2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a - 3b - 7 = 8\\2a - 3b - 7 = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{3b + 15}}{2}\\a = \frac{{3b - 1}}{2}\end{array} \right.$

Với $a = \frac{{3b + 15}}{2}$ thay vào (1) ta được:

$\frac{{{{\left( {3b - 13} \right)}^2}}}{4} + {\left( {b + 11} \right)^2} + \frac{{{{\left( {b + 9} \right)}^2}}}{4} = 180 \Leftrightarrow 14{b^2} + 28b + 14 = 0 \Leftrightarrow b = - 1$. Suy ra $a = 6$.

Khi đó $\overrightarrow {NM} = \left( {8\,;\,10\,;\,4} \right) = 2\left( {4\,;5\,;\,2} \right)$ và $M\left( {7;\,11;\, - 3} \right)$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ nhận ${\overrightarrow u _d} = \left( {4\,;\,5\,;\,2} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{5} = \frac{{z + 3}}{2}$.

Với $a = \frac{{3b - 1}}{2}$ thay vào (1) ta được:

$\frac{{{{\left( {3b + 3} \right)}^2}}}{4} + {\left( {b - 5} \right)^2} + \frac{{{{\left( {b + 25} \right)}^2}}}{4} = 180 \Leftrightarrow 14{b^2} + 28b + 14 = 0 \Leftrightarrow b = - 1$.

Vậy đường thẳng $d$ cần tìm là: $\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{5} = \frac{{z + 3}}{2}$. Chọn D.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 76 đến 77

Trong một ngôi làng có 500 người thì 240 người là nam. Thống kê cho thấy rằng, khả năng mắc bệnh hô hấp ở người nam trong làng là 0,6% và ở người nữ trong làng là 0,35%. Giả sử gặp một người trong làng.
Giả sử gặp một người trong làng không mắc bệnh hô hấp, xác suất để người đó là nữ xấp xỉ bằng

A. $52,06\% $.

B. $47,94\% $.

C. $49,74\% $.

D. $50,26\% $.

Lời giải

Giả sử gặp một người trong làng không mắc bệnh, xác suất để người đó là nữ chính là xác suất có điều kiện $P\left( {\bar B|\bar A} \right)$.

Ta có $P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,0047 = 0,9953$; $P\left( {\bar A|\bar B} \right) = 1 - P\left( {A|\bar B} \right) = 1 - 0,0035 = 0,9965$.

Theo công thức Bayes: $P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = \frac{{P\left( {\bar B} \right) \cdot P\left( {\bar A|\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{13}}{{25}} \cdot \frac{{0,9965}}{{0,9953}} \approx 0,5206 = 52,06\% $. Chọn A.

Câu 2

Vận tốc của tên lửa tầm trung được biểu thị bởi hàm số

A. $v\left( {{t_1}} \right) = \frac{1}{{90\,000\,000}}t_1^3 + \frac{1}{{500}}{t_1} + 1\,\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

B. $v\left( {{t_1}} \right) = \frac{1}{{90\,000\,000}}t_1^3 + \frac{n}{{500}}{t_1} + 1\,\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, $n > 0$.

C. $v\left( {{t_1}} \right) = \frac{1}{{9\,000}}t_1^2 + \frac{n}{{100}}{t_1}\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, $n > 0$.

D. $v\left( {{t_1}} \right) = \frac{1}{{9\,000}}t_1^2 + \frac{n}{{100}}{t_1} + 1\,\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, $n > 0$.

Lời giải

Ta có vận tốc của tên lửa tầm trung là:

$v\left( {{t_1}} \right) = \int {a\left( {{t_1}} \right)d{t_1}} = \int {\left( {\frac{1}{{4500}}{t_1} + \frac{n}{{100}}} \right)} \,{\rm{d}}{t_1} = \frac{1}{{9000}}t_1^2 + \frac{n}{{100}}{t_1} + C$.

Vì khi ${t_1} = 0$ thì $v\left( {{t_1}} \right) = 0$ nên suy ra $C = 0$.

Do đó $v\left( {{t_1}} \right) = \frac{1}{{9000}}t_1^2 + \frac{n}{{100}}{t_1}\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, $n > 0$. Chọn C.

Câu 3