Linh có 39 viên bi được chia làm 3 nhóm như ảnh dưới đây.

 

Bằng cách thay đổi vị trí của các viên bi, Linh đảm bảo rằng số lượng viên bi trong ba nhóm từ trái qua phải trở thành 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân với công bội dương khác 1. Hỏi Linh phải di chuyển ít nhất bao nhiêu viên bi?    

Giả sử số bi ở 3 nhóm lần lượt là \({u_1}\,;\,{u_1} \cdot q\,;\,{u_1} \cdot {q^2}\,\,\left( {{u_1} \in {\mathbb{N}^*},\,q > 0\,,\,q \ne 1} \right)\). Khi đó ta có:

\({u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 39 \Rightarrow {u_1} = \frac{{39}}{{1 + q + {q^2}}}\).

Do \({u_1} \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(1 + q + {q^2} = 3\) hoặc \(1 + q + {q^2} = 13\).

Trường hợp 1. Với \(1 + q + {q^2} = 3 \Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 1\\q = - 2\end{array} \right.\) (loại).

Trường hợp 2. Với \(1 + q + {q^2} = 13 \Leftrightarrow {q^2} + q - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = - 4\end{array} \right. \Rightarrow q = 3 \Rightarrow {u_1} = 3\). Khi đó số bi 3 nhóm lần lượt 3; 9; 27.

Do đó cần di chuyển 7 bi từ nhóm 1 sang nhóm 3 và 4 bi từ nhóm 2 sang nhóm 3.

Vậy số bị cần di chuyển tối thiểu là 11 bi. Chọn D.