Một bàn cờ vua gồm 8 × 8 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật, … Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn \(4\) đơn vị bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,\,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của biểu thức \(T = a + 2b\) là:    

Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi 9 đường thẳng theo phương nằm ngang \(x = 0;\,x = 1;x = 2;...;x = 8\) và \(9\) đường thẳng theo phương thẳng đứng \(y = 0;\,y = 1;y = 2;....;y = 8.\)

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đoạn thẳng thuộc hai đường thẳng \({x_i},{x_j}\) và hai đoạn thẳng thuộc các đường thẳng \({y_m},{y_n}\) (\(i,j,m,n \in \left\{ {0;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)) nên có \(C_9^2 \cdot C_9^2\) hình chữ nhật. Suy ra số hình chữ nhật tạo thành là \(C_9^2 \cdot C_9^2\)\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_9^2 \cdot C_9^2 = 1296.\)

Gọi \(A\) là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh \(a\) lớn hơn \(4\).

Trường hợp 1: \(a = 5\). Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng \({x_i},{x_j}\) cách nhau \(5\) đơn vị và hai đường thẳng \({y_m},{y_n}\) cách nhau \(5\) đơn vị nên có \(4 \cdot 4 = 16\) cách chọn.

Trường hợp 2: \(a = 6\). Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng \({x_i},{x_j}\) cách nhau \(6\) đơn vị và hai đường thẳng \({y_m},{y_n}\) cách nhau \(6\) đơn vị có \(3 \cdot 3 = 9\) cách chọn.

Trường hợp 3: \(a = 7\). Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng \({x_i},{x_j}\) cách nhau \(7\) đơn vị và hai đường thẳng \({y_m},{y_n}\) cách nhau \(7\) đơn vị có \(2 \cdot 2 = 4\) cách chọn.

Trường hợp 4: \(a = 8\). Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng \({x_i},{x_j}\) cách nhau \(8\) đơn vị và hai đường thẳng \({y_m},{y_n}\) cách nhau \(8\) đơn vị nên có \(1 \cdot 1 = 1\) cách chọn.

Suy ra \(n\left( A \right) = 16 + 9 + 4 + 1 = 30\).

Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là:

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{30}}{{1296}}\)=\(\frac{5}{{216}}\)\( \Rightarrow a = 5;b = 216 \Rightarrow a + 2b = 437.\) Chọn B.