Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 8. Biết tập hợp tất cả các điểm N thỏa mãn \[\left| {3\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NB}  - \overrightarrow {NA} } \right|\] là một đường tròn có bán kính R. Tính R.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]

Biến đổi biểu thức:

\[\left| {3\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  - \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right)} \right|\]

\[\left| {2\overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {NB} } \right| = \left| {\overrightarrow {NB}  - \overrightarrow {NA} } \right|\] tương đương với

\[{\left| {2\overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {NB} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {NB}  - \overrightarrow {NA} } \right|^2}\]

Khai triển bình phương ta được

\[4N{A^2} - 12\overrightarrow {NA}  \cdot \overrightarrow {NB}  + 9N{B^2} = N{B^2} - 2\overrightarrow {NA}  \cdot \overrightarrow {NB}  + N{A^2}\]

\[3N{A^2} - 10\overrightarrow {NA}  \cdot \overrightarrow {NB}  + 8N{B^2} = 0\]

Chia cả hai vế cho NB², ta được

\[3{\left( {\frac{{NA}}{{NB}}} \right)^2} - 10\frac{{NA}}{{NB}} + 8 = 0\]

Đặt \[t = \frac{{NA}}{{NB}}\], ta có phương trình bậc hai 3t² ‒ 10t + 8 = 0.

Giải phương trình ta được t = 2 hoặc \[t = \frac{4}{3}\]

NA = 2NB hoặc \[NA = \frac{4}{3}NB\]. Đây là phương trình của hai đường tròn.

Với tam giác đều cạnh 8, trọng tâm G chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2: 1

\[GA = GB = GC = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\]

Xét trường hợp \[NA = \frac{4}{3}NB\] nằm trên đường tròn tâm J, với J là điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ 3 : 4, bán kính \[{R_2} = \frac{4}{7} \times \frac{8}{{\sqrt 3 }} = \frac{{32}}{{7\sqrt 3 }}\]

Vì tập hợp điểm N là một đường tròn, ta chọn bansn kính lớn hơn \[R = \frac{{16}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{16\sqrt 3 }}{9}.\]