Câu hỏi:

08/05/2025 47

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

\(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Với mọi số dương x, y ta có: \(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \ge \frac{1}{3}\).

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

3(x² – xy + y²) ≥ x² + xy + y²

2x² - 4xy + 2y²≥ 0

2(x - y)²≥ 0 (đúng).

Đặt vế trái của bất đẳng thức bài cho là A.

Đặt B = \(\frac{{{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

Ta được A – B = \(\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

\(A - B = \frac{{(a - b)({a^2} + ab + {b^2})}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{(b - c)({b^2} + bc + {c^2})}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{(c - a)({c^2} + ca + {a^2})}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

A – B = a – b + b – c + c – a = 0

A = B

Ta có:

\(2{\rm{A}} = A + B = \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)\(\)

\(2{\rm{A}} = \frac{{(a + b)({a^2} - ab + {b^2})}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{(b + c)({b^2} - bc + {c^2})}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{(c + a)({c^2} - ca + {a^2})}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

\(2{\rm{A}} \ge \frac{{a + b}}{3} + \frac{{b + c}}{3} + \frac{{c + a}}{3}\)

\(A \ge \frac{{a + b + c}}{3}\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở sản xuất x(m³) nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; 0,0005x² chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là 200m³. Gọi C(x) là chi phí sản xuất x(m³) sản phẩm mỗi ngày và c(x) là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm. Khi đó

a) C(x) = 0,0005x² + 0,15x + 5

b) Chi phí sản xuất 100m³ nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

a) Tìm hàm chi phí sản xuất C(x):

1. Chi phí cố định: 5 triệu đồng.

2. Chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm: 0,15 triệu đồng/m³.

3. Chi phí bảo dưỡng máy móc: 0,0005x².

Tổng chi phí sản xuất x mét khối nước tinh khiết mỗi ngày là:

C(x) = 0,0005x² + 0,15x + 5

b) Tính chi phí sản xuất 100 m³ nước tinh khiết:

Thay x = 100 vào hàm chi phí C(x):

C(100) = 0,0005(100)² + 0,15(100) + 5

Tính toán:

C(100) = 0,0005.10000 + 15 + 5

C(100) = 5 + 15 + 5

C(100) = 25

Chi phí sản xuất 100 m³ nước tinh khiết là 25 triệu đồng.

Câu 2

1 tỷ năm có bao nhiêu ngày

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

1 tỷ năm = 365 000 000 000 ngày

Câu 3