Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3. Tìm min P = a2 + b2 +c2 + ( frac{{{ rm{ab}} + { rm{bc}} + { rm{ca}}}}{{{{ rm{a}}^2}{ rm{b}} + {{ rm{b}}^2}{ rm{c}} + {{ rm{c}}^2}{ r...

Lời giải: Ta có: 3.(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + ab2 + ac2 + a2b + b3 + bc2 + ca2 + cb2 + c3 = (a3 + b3 + c3) + (ab2 + bc2 + ca2) + (a2b + b2c +c2a) Áp dụng BĐT AM – GM, ta có: · a3 + ab2 ( ge ) (2 sqrt {{{ rm{a}}^4}{{ rm{b}}^2}} )= 2a2b · b3 + bc2 ( ge ) (2 sqrt {{{ rm{b}}^4}{{ rm{c}}^2}} )= 2b2c · c3 + ca2 ( ge ) (2 sqrt {{{ rm{c}}^4}{{ rm{a}}^2}} )= 2c2a Suy ra (a3 + b3 + c3) + (ab2 + bc2 + ca2) ( ge ) 2.(a2b + b2c +c2a) (a3 + b3 + c3) + (ab2 + bc2 + ca2) + (a2b + b2c +c2a) ( ge ) 3.(a2b + b2c +c2a) 3.(a2 + b2 + c2) ( ge ) 3.(a2b + b2c +c2a) a2 + b2 + c2 ( ge ) a2b + b2c +c2a ( frac{1}{{{{ rm{a}}^{ rm{2}}}{ rm{b + }}{{ rm{b}}^{ rm{2}}}{ rm{c + }}{{ rm{c}}^{ rm{2}}}{ rm{a}}}} ge frac{1}{{{{ rm{a}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{b}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{c}}^{ rm{2}}}}} ) a2 + b2 + c2 + ( frac{{{ rm{ab + bc + }}{ rm{ ca}}}}{{{{ rm{a}}^{ rm{2}}}{ rm{b + }}{{ rm{b}}^{ rm{2}}}{ rm{c + }}{{ rm{c}}^{ rm{2}}}{ rm{a}}}} ge frac{{{ rm{ab + bc + ca}}}}{{{{ rm{a}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{b}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{c}}^{ rm{2}}}}} )+ a2 + b2 + c2 = ( frac{{{{({ rm{a + b + c)}}}^2} - ({{ rm{a}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{b}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{c}}^{ rm{2}}})}}{{ rm{2}}}. frac{{ rm{1}}}{{{{ rm{a}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{b}}^{ rm{2}}}{ rm{ + }}{{ rm{c}}^{ rm{2}}}}} )+a2+b2+c2 Gọi a2 + b2 + c2 = t Suy ra P ( ge ) ( frac{{{3^2} - { rm{t}}}}{{{ rm{2t}}}} )+ t = ( frac{{9 - { rm{t}}}}{{{ rm{2t}}}} ) + t Bài toán trở thành tìm GTNN của ( frac{{9 - { rm{t}}}}{{{ rm{2t}}}} ) + t Theo BĐT Bunhiacopxki, ta có: (a2 + b2 + c2)(12 + 12 + 12) ( ge ) (a.1 + b.1 + c.1)2 a2 + b2 + c2 ( ge ) [ frac{{{{({ rm{a + b + c)}}}^2}}}{3} ] = [ frac{{{3^2}}}{3} ] = [ frac{9}{3} ] t ( ge ) 3 Đặt A = ( frac{{9 - { rm{t}}}}{{{ rm{2t}}}} ) + t Thử các giá trị của t, ta có: t = 3 thì A = 4 t = 3,5 thì A = 4,29 t = 4 thì A = 4,625 t = 5 thì A = 5,4 t = 6 thì A = 6,25 Nhận thấy biểu thức A tăng dần khi t tăng Do đó [{{ rm{A}}_{ min }} ] = 4 tại t = 3 Vậy [{{ rm{P}}_{ min }} ] = 4 tại a = b = c = 1.

Câu hỏi:

08/05/2025 34

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3.

Tìm min P = a² + b² +c² + \(\frac{{{\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}}}}{{{{\rm{a}}^2}{\rm{b}} + {{\rm{b}}^2}{\rm{c}} + {{\rm{c}}^2}{\rm{a}}}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Ta có: 3.(a² + b² + c²) = (a + b + c)(a² + b² + c²)

= a³ + ab² + ac² + a²b + b³+ bc² + ca² + cb² + c³

= (a³ + b³ + c³) + (ab² + bc² + ca²) + (a²b + b²c +c²a)

Áp dụng BĐT AM – GM, ta có:

· a³ + ab² \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{a}}^4}{{\rm{b}}^2}} \)= 2a²b

· b³ + bc² \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{b}}^4}{{\rm{c}}^2}} \)= 2b²c

· c³ + ca² \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{c}}^4}{{\rm{a}}^2}} \)= 2c²a

Suy ra (a³ + b³ + c³) + (ab² + bc² + ca²) \( \ge \) 2.(a²b + b²c +c²a)

(a³ + b³ + c³) + (ab² + bc² + ca²) + (a²b + b²c +c²a) \( \ge \) 3.(a²b + b²c +c²a)

3.(a² + b² + c²) \( \ge \) 3.(a²b + b²c +c²a)

a² + b² + c² \( \ge \) a²b + b²c +c²a

\(\frac{1}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{b + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{c + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{a}}}} \ge \frac{1}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)

a² + b² + c² +\(\frac{{{\rm{ab + bc + }}{\rm{ ca}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{b + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{c + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{a}}}} \ge \frac{{{\rm{ab + bc + ca}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)+ a² + b² + c²

=\(\frac{{{{({\rm{a + b + c)}}}^2} - ({{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}})}}{{\rm{2}}}.\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)+a²+b²+c²

Gọi a² + b² + c² = t

Suy ra P \( \ge \) \(\frac{{{3^2} - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\)+ t = \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t

Bài toán trở thành tìm GTNN của \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t

Theo BĐT Bunhiacopxki, ta có:

(a² + b² + c²)(1² + 1² + 1²) \( \ge \) (a.1 + b.1 + c.1)²