Câu hỏi:
08/05/2025 7
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3.
Tìm min P = a2 + b2 +c2 + \(\frac{{{\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}}}}{{{{\rm{a}}^2}{\rm{b}} + {{\rm{b}}^2}{\rm{c}} + {{\rm{c}}^2}{\rm{a}}}}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3.
Tìm min P = a2 + b2 +c2 + \(\frac{{{\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}}}}{{{{\rm{a}}^2}{\rm{b}} + {{\rm{b}}^2}{\rm{c}} + {{\rm{c}}^2}{\rm{a}}}}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Ta có: 3.(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
= a3 + ab2 + ac2 + a2b + b3 + bc2 + ca2 + cb2 + c3
= (a3 + b3 + c3) + (ab2 + bc2 + ca2) + (a2b + b2c +c2a)
Áp dụng BĐT AM – GM, ta có:
· a3 + ab2 \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{a}}^4}{{\rm{b}}^2}} \)= 2a2b
· b3 + bc2 \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{b}}^4}{{\rm{c}}^2}} \)= 2b2c
· c3 + ca2 \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{c}}^4}{{\rm{a}}^2}} \)= 2c2a
Suy ra (a3 + b3 + c3) + (ab2 + bc2 + ca2) \( \ge \) 2.(a2b + b2c +c2a)
(a3 + b3 + c3) + (ab2 + bc2 + ca2) + (a2b + b2c +c2a) \( \ge \) 3.(a2b + b2c +c2a)
3.(a2 + b2 + c2) \( \ge \) 3.(a2b + b2c +c2a)
a2 + b2 + c2 \( \ge \) a2b + b2c +c2a
\(\frac{1}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{b + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{c + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{a}}}} \ge \frac{1}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)
a2 + b2 + c2 +\(\frac{{{\rm{ab + bc + }}{\rm{ ca}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{b + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{c + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{a}}}} \ge \frac{{{\rm{ab + bc + ca}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)+ a2 + b2 + c2
=\(\frac{{{{({\rm{a + b + c)}}}^2} - ({{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}})}}{{\rm{2}}}.\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)+a2+b2+c2
Gọi a2 + b2 + c2 = t
Suy ra P \( \ge \) \(\frac{{{3^2} - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\)+ t = \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t
Bài toán trở thành tìm GTNN của \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t
Theo BĐT Bunhiacopxki, ta có:
(a2 + b2 + c2)(12 + 12 + 12) \( \ge \) (a.1 + b.1 + c.1)2
a2 + b2 + c2 \( \ge \) \[\frac{{{{({\rm{a + b + c)}}}^2}}}{3}\] = \[\frac{{{3^2}}}{3}\] = \[\frac{9}{3}\]
t \( \ge \) 3
Đặt A = \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t
Thử các giá trị của t, ta có:
t = 3 thì A = 4
t = 3,5 thì A = 4,29
t = 4 thì A = 4,625
t = 5 thì A = 5,4
t = 6 thì A = 6,25
Nhận thấy biểu thức A tăng dần khi t tăng
Do đó \[{{\rm{A}}_{\min }}\] = 4 tại t = 3
Vậy \[{{\rm{P}}_{\min }}\] = 4 tại a = b = c = 1.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 5:
Tìm x, biết: \(\frac{2}{{{1^2}}}.\frac{6}{{{2^2}}}.\frac{{12}}{{{3^2}}}.\frac{{20}}{{{4^2}}}.....\frac{{110}}{{{{10}^2}}}.x = - 20\)
Tìm x, biết: \(\frac{2}{{{1^2}}}.\frac{6}{{{2^2}}}.\frac{{12}}{{{3^2}}}.\frac{{20}}{{{4^2}}}.....\frac{{110}}{{{{10}^2}}}.x = - 20\)
Xem đáp án »
08/05/2025
17
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận