ho a, b, c ≥ 0 với a + b + c = 3 và \[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}}.\] Tìm GTNN của P.

Lời giải:

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[a + 2{b^3} = a + {b^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot {b^3} \cdot {b^3}}} = 3\sqrt[3]{{a{b^6}}}.\]

Suy ra \[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} = \frac{{a\left( {a + 2{b^3}} \right) - 2a{b^3}}}{{a + 2{b^3}}} = a - \frac{{2a{b^3}}}{{a + {b^3} + {b^3}}} \ge a - \frac{{2a{b^3}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^6}}}}} = a - \frac{{2b\sqrt[3]{a}}}{3}.\]

Tương tự, ta có: \[\frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} \ge b - \frac{{2c\sqrt[3]{b}}}{3};\,\,\frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge c - \frac{{2a\sqrt[3]{c}}}{3}.\]

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge a + b + c - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\]

Mặt khác, a + b + c = 3 nên ta có:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\].

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \[a + a + 1 \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot a}} = 3\sqrt[3]{{{a^2}}}\]

Suy ra \[b\sqrt[3]{a} \le \frac{1}{3}b\left( {a + a + 1} \right) = \frac{{2ab + b}}{3}.\]

Tương tự, ta có: \[c\sqrt[3]{b} \le \frac{{2bc + c}}{3};\,\,a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ac + a}}{3}.\]

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:

\[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ab + b}}{3} + \frac{{2bc + c}}{3} + \frac{{2ac + a}}{3} = \frac{2}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\]

Ta có: (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0

2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0

a² + b² + c² – ab – bc – ca ≥ 0

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca

(a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca)

3² ≥ 3(ab + bc + ca)

Suy ra ab + bc + ca ≤ 3.

Từ đó ta có \[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3.\]

Do đó \[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 1.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi a = b = c = 1.