Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = m - 37\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = 3m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

a) Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

b) Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên x, y và x + y bé nhất.

Lời giải:

a) Từ phương trình (2) ta có: x = 3m + 1 ‒ 2y

Thay vào phương trình (1) ta có:

(m ‒ 1)(3m + 1 ‒ 2y) ‒ (m ‒1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 2(m ‒1)y ‒ (m ‒ 1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

3m² + m ‒ 3m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m ‒ 37

3m² ‒ 2m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

‒3(m ‒ 1)y = ‒3m² + 3m ‒ 36

Xét thấy m = 1 thì phương trình trên vô nghiệm, do đó m ≠ 1, khi đó ta có:

\[y = \frac{{3{m^2} - 3m + 36}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\].

Do đó, x = 3m + 1 ‒ 2y

\[ = 3m + 1 - 2 \cdot \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{3{m^2} - 3m + m - 1 - 2{m^2} + 2m - 24}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}}\]

Vậy với m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}};\,\,\frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}} \right).\)

b) Theo câu a, ta có: \[x = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}} = m + 1 - \frac{{24}}{{m - 1}}\] và \[y = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}} = m + \frac{{12}}{{m - 1}}\]

Để x và y nguyên, thì m ‒ 1 phải là ước của 24 và 12.

Mà ƯC(24, 12) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Do đó, m ‒ 1 ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Suy ra m ∈ {2; 3; 4; 5; 7; 13; 0; ‒1; ‒2; ‒3; ‒5; ‒11} (thỏa mãn).

Ta tính:

\[x + y = 2m + 1 + \frac{{12}}{{m - 1}} - \frac{{24}}{{m - 1}} = 2m + 1 - \frac{{12}}{{m - 1}}\].

Để x + y nhỏ nhất, ta thử các giá trị của m:

Khi m = ‒11, x + y = ‒22 + 1 + 1 = ‒20;

Khi m = ‒5, x + y = ‒10 + 1 + 2 = ‒7;

Khi m = ‒3, x + y = ‒6 + 1 + 3 = ‒2;

Khi m = ‒2, x + y = ‒4 + 1 + 4 = 1;

Khi m = ‒1, x + y = ‒2 + 1 + 6 = 5;

Khi m = 0, x + y = 0 + 1 + 12 = 13;

Khi m = 2, x + y = 4 + 1 ‒ 12 = ‒7;

Khi m = 3, x + y = 6 + 1 ‒ 6 = 1;

Khi m = 4, x + y = 8 + 1 ‒ 4 = 5;

Khi m = 5, x + y = 10 + 1 ‒ 3 = 8;

Khi m = 7, x + y = 14 + 1 ‒ 2 = 13;

Khi m = 13, x + y = 26 + 1 ‒ 1 = 26.

Giá trị nhỏ nhất của x + y là ‒20 khi m = ‒11.

Vậy m = ‒11.