Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \frac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}.\end{array} \right.\]

Lời giải:

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \frac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + {y^2} - xy - 3y + 1 = 0\\x + y = \frac{{{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} - 3y + 1 = 0\\x + y - 1 = \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + y - 3} \right) =  - \left( {{x^2} + 1} \right)\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}}\left( {x + y - 3} \right) =  - 1\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]

Đặt \[\frac{y}{{1 + {x^2}}} = a;\,\,x + y - 3 = b,\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ab =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b = a - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Thế (2) vào (1), ta được:

a(a – 2) = –1

a² – 2a + 1 = 0

(a – 1)² = 0

a – 1 = 0

a = 1.

Thay a = 1 vào phương trình (2), ta được: b = 1 – 2 = –1.

Với a = 1 và b = –1, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}} = 1\\x + y - 3 =  - 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x + y - 3 =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\]

Thế (3) vào (4), ta được:

x + 1 + x² – 3 = –1

x² + x – 1 = 0

\(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Với \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Với \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right).\)