Giải phương trình: \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} .\]

Lời giải:

\[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

\[{x^4} + 2{x^2} + 1 = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

\[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = 4 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \] (1)

Đặt \[t = x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

Suy ra t² = x²(2x² + 4)

Suy ra \[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = \frac{{{t^2}}}{2}\]

Từ (1) ta có phương trình:

\[\frac{{{t^2}}}{2} = 4 - t\]

t² + 2t ‒ 8 = 0

t = ‒4 hoặc t = 2

⦁ Với t = ‒4 ta có:

 \[x\sqrt {2{x^2} + 4}  =  - 4\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - x\sqrt {2{x^2} + 4}  = 4\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{\left( { - x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {4^2}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 16\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^4} + 2{x^2} - 8 = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} = 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[x =  - \sqrt 2 \]

⦁ Với t = 2 ta có:

\[x\sqrt {2{x^2} + 4}  = 2\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {2^2}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 4\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^4} + 2{x^2} - 2 = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = \sqrt 3  - 1\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[x = \sqrt {\sqrt 3  - 1} \]

Vậy phương trình có 2 nghiệm \[x =  - \sqrt 2 \]; \[x = \sqrt {\sqrt 3  - 1} \].