Giải phương trình vô tỉ:

\[18{x^2} - 15x + \frac{2}{x} = \frac{5}{{\sqrt x }} + 12\left( {1 - \sqrt x } \right)\].

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

\[18{x^2} - 15x + \frac{2}{x} = \frac{5}{{\sqrt x }} + 12\left( {1 - \sqrt x } \right)\]

\[36{x^2} - 30x + \frac{4}{x} = \frac{{10}}{{\sqrt x }} + 24\left( {1 - \sqrt x } \right)\]

\({\left( {6x} \right)^2} + 2 \cdot 6x \cdot \frac{2}{{\sqrt x }} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} - 5\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 24 = 0\)

\({\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} - 5\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 24 = 0\)

Đặt \(t = 6x + \frac{2}{{\sqrt x }}\,\,\,\left( {t > 0} \right),\) phương trình trên trở thành:

\({t^2} - 5t - 24 = 0\)

\({t^2} - 8t + 3t - 24 = 0\)

\(t\left( {t - 8} \right) + 3\left( {t - 8} \right) = 0\)

\(\left( {t - 8} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\)

\(t - 8 = 0\) hoặc \(t + 3 = 0\)

\(t = 8\) (thỏa mãn). hoặc \(t =  - 3\) (loại).

Với \(t = 8\) ta có \(6x + \frac{2}{{\sqrt x }} = 8,\) suy ra \(6x\sqrt x  - 8\sqrt x  + 2 = 0.\)

\(6x\sqrt x  - 6\sqrt x  - 2\sqrt x  + 2 = 0\)

\(6\sqrt x \left( {x - 1} \right) - 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\)

\(6\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\)

\(\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {6x + 6\sqrt x  - 2} \right) = 0\)

\(\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {6x + 6\sqrt x  - 2} \right) = 0\)

\(\sqrt x  - 1 = 0\) hoặc \(6x + 6\sqrt x  - 2 = 0\)

\(\sqrt x  = 1\) hoặc \(\sqrt x  = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{6}\) hoặc \(\sqrt x  = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{6}\) (loại).

\(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{6}\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 1;\,\,x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{6}.\)