Chứng minh: \[\frac{2}{{ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 14\] với a, b > 0 và a + b = 1.

Lời giải:

Ta có: \[\frac{2}{{ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{1}{{2ab}} + \frac{3}{{2ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}}\]

Áp dụng bất đẳng thức: Với x, y > 0 ta có \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\], ta có:

\[\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{2ab + {a^2} + {b^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = 4\]

Suy ra \[\frac{3}{{2ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 3 \cdot 4 = 12\] (1)

Ta lại có: 1² = (a + b)² ≥ 4ab. Suy ra \[\frac{1}{2} \ge 2ab\] hay \[\frac{1}{{2ab}} \ge 2\] (2)

Cộng từng vế (1) và (2) suy ra đpcm.