Giải phương trình:

\[2{x^2} + 2x + 1 = \left( {2x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2}  - 1} \right)\].

Lời giải:

Xét phương trình \[2{x^2} + 2x + 1 = \left( {2x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2}  - 1} \right)\] (*)

Đặt \[t = \sqrt {{x^2} + x + 2} \] (t > 1).

Suy ra x² = t² ‒ x ‒ 2, thay vào phương trình (*) ta có:

x² + 2x + 1 + t² ‒ x ‒ 2 = (2x + 3)(t ‒ 1)

t² – (2x + 3)(t ‒ 1) + x² + x – 1 = 0

t² – (2x + 3)t + x² + 3x + 2 = 0

t² ‒ (2x + 3)t + (x + 1)(x + 2) = 0

t = x + 1 hoặc t = x + 2

⦁ Với t = x + 1 ta có:

\[\sqrt {{x^2} + x + 2}  = x + 1\]

x ≥ ‒1 và x² + x + 2 = (x + 1)²

x ≥ ‒1 và x² + x + 2 = x² + 2x + 1

x ≥ ‒1 và x = 1

x = 1

⦁ Với t = x + 1 ta có phương trình:

\[\sqrt {{x^2} + x + 2}  = x + 2\]

x ≥ ‒2 và x² + x + 2 = (x + 2)²

x ≥ ‒2 và x² + x + 2 = x² + 4x + 4

x ≥ ‒2 và 3x = ‒2

\[x =  - \frac{2}{3}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, \[x =  - \frac{2}{3}\].