Cho đa thức f(x) = ax² + bx + c có 2a, a + b, c là số nguyên. Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x.

Lời giải:

Đặt 2a = m, a + b = n với m và n là số nguyên.

Khi đó, \(a = \frac{m}{2}\) và \(b = n - \frac{m}{2}.\)

Ta có đa thức \(f\left( x \right) = \frac{m}{2}{x^2} + \left( {n - \frac{m}{2}} \right)x + c\) với m, n, c là số nguyên.

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{m}{2}{x^2} + \left( {n - \frac{m}{2}} \right)x + c = \frac{m}{2}\left( {{x^2} - x} \right) + nx + c = \frac{m}{2}x\left( {x - 1} \right) + nx + c.\)

Với x nguyên ta có x(x – 1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên x(x – 1) ⋮ 2.

Suy ra \(m \cdot \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\) là số nguyên.

Lại có n, x, c là số nguyên nên \(\frac{m}{2}x\left( {x - 1} \right) + nx + c\) cũng là số nguyên.

Như vậy, f(x) nhận giá trị là số nguyên với mọi x nguyên.