Cho a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab(b ‒ a)².

Lời giải:

Ta có: \[A = ab{\left( {b - {\rm{ }}a} \right)^2} = \frac{1}{4} \cdot 4ab\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\]

\[ \le \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}{\left( {4ab + {a^2} - 2ab + {b^2}} \right)^2}\]

\[ = \frac{1}{{16}}{\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)^2}\]

\[ = \frac{1}{{16}}{\left( {a + b} \right)^4} = \frac{1}{{16}} \cdot {1^4} = \frac{1}{{16}}.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4ab = {a^2}--2ab + {b^2}\\a + b = 1\end{array} \right.\)hay \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\\b = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\\b = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng \(\frac{1}{{16}}\) khi \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4};\,\,\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}} \right);\,\,\left( {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4};\,\,\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} \right)} \right\}.\)