Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a khác c sao cho \({a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{a}{c}\).

Chứng minh a² + b² + c² không phải số nguyên tố?

Lời giải:

Ta có: \(\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\)

a (c² + b²) = c (a² + b²)

a c² + ab² = ca² + cb²

ac (c – a) − b² (c – a) = 0

(c – a) (ac − b²) = 0

Vì a ≠ c nên (a – c) ≠ 0

Do đó ac – b² = 0

ac = b²

\(\sqrt {ac} = b\)

Giả sử: a² + b² + c² là số nguyên tố

Ta có: a² + b² + c² = a² + ac + c²

= (a + c)² – ac

= (a + c)² – b²

= (a + c – b) (a + c + b)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

\( = \left[ {{{(\sqrt a - \sqrt c )}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

Vì a² + b² + c² là số nguyên tố nên có ước là 1.

Mà \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} < {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + 3\sqrt {ac} \)

Nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} = 1\)

\({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} = 1 - \sqrt {ac} \)

Vì a ≠ c nên \(\sqrt a \ne \sqrt c \) suy ra \(\sqrt a - \sqrt c \ne 0\) nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} < 0\)

Do đó \(1 - \sqrt {ac} > 0\) suy ra \(\sqrt {ac} < 1\) nên ac < 1.          (1)

Mà a² + b² > 0 và c² + b² > 0 nên \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}} > 0\)

Suy ra \(\frac{a}{c} > 0\) nên a,c cùng dấu nên ac > 0.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < ac <1.

Mà a, c là số nguyên nên ac là số nguyên.

Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn.

Suy ra điều giả sử sai.

Vậy a² + b² + c² không phải số nguyên tố.