Câu hỏi:
09/05/2025 54
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a khác c sao cho \({a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{a}{c}\).
Chứng minh a2 + b2 + c2 không phải số nguyên tố?
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a khác c sao cho \({a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{a}{c}\).
Chứng minh a2 + b2 + c2 không phải số nguyên tố?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Ta có: \(\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\)
a (c2 + b2) = c (a2 + b2)
a c2 + ab2 = ca2 + cb2
ac (c – a) − b2 (c – a) = 0
(c – a) (ac − b2) = 0
Vì a ≠ c nên (a – c) ≠ 0
Do đó ac – b2 = 0
ac = b2
\(\sqrt {ac} = b\)
Giả sử: a2 + b2 + c2 là số nguyên tố
Ta có: a2 + b2 + c2 = a2 + ac + c2
= (a + c)2 – ac
= (a + c)2 – b2
= (a + c – b) (a + c + b)
\( = \left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)
\( = \left[ {{{(\sqrt a - \sqrt c )}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)
Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố nên có ước là 1.
Mà \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} < {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + 3\sqrt {ac} \)
Nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} = 1\)
\({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} = 1 - \sqrt {ac} \)
Vì a ≠ c nên \(\sqrt a \ne \sqrt c \) suy ra \(\sqrt a - \sqrt c \ne 0\) nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} < 0\)
Do đó \(1 - \sqrt {ac} > 0\) suy ra \(\sqrt {ac} < 1\) nên ac < 1. (1)
Mà a2 + b2 > 0 và c2 + b2 > 0 nên \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}} > 0\)
Suy ra \(\frac{a}{c} > 0\) nên a,c cùng dấu nên ac > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < ac <1.
Mà a, c là số nguyên nên ac là số nguyên.
Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn.
Suy ra điều giả sử sai.
Vậy a2 + b2 + c2 không phải số nguyên tố.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho phương trình x2 + 3x + m – 4 = 0. Giải phương trình tại m = 4.
Cho phương trình x2 + 3x + m – 4 = 0. Giải phương trình tại m = 4.
Xem đáp án »
09/05/2025
117
Câu 2:
Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.
Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.
Xem đáp án »
09/05/2025
83
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a. Tính độ dài vectơ BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a. Tính độ dài vectơ BC.
Xem đáp án »
09/05/2025
78
Câu 4:
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4. Chứng minh \(\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \le 3\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4. Chứng minh \(\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \le 3\)
Xem đáp án »
09/05/2025
69
Câu 5:
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc biết \(\overline {abc} \) : 11 = a + b + c
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc biết \(\overline {abc} \) : 11 = a + b + c
Xem đáp án »
09/05/2025
58
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận