Câu hỏi:

09/05/2025 80

Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a khác c sao cho \({a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{a}{c}\).

Chứng minh a2 + b2 + c2 không phải số nguyên tố?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Ta có: \(\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\)

a (c2 + b2) = c (a2 + b2)

a c2 + ab2 = ca2 + cb2

ac (c – a) − b2 (c – a) = 0

(c – a) (ac − b2) = 0

Vì a ≠ c nên (a – c) ≠ 0

Do đó ac – b2 = 0

ac = b2

\(\sqrt {ac} = b\)

Giả sử: a2 + b2 + c2 là số nguyên tố

Ta có: a2 + b2 + c2 = a2 + ac + c2

= (a + c)2 – ac

= (a + c)2 – b2

= (a + c – b) (a + c + b)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

\( = \left[ {{{(\sqrt a - \sqrt c )}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố nên có ước là 1.

\({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} < {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + 3\sqrt {ac} \)

Nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} = 1\)

\({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} = 1 - \sqrt {ac} \)

Vì a ≠ c nên \(\sqrt a \ne \sqrt c \) suy ra \(\sqrt a - \sqrt c \ne 0\) nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} < 0\)

Do đó \(1 - \sqrt {ac} > 0\) suy ra \(\sqrt {ac} < 1\) nên ac < 1.          (1)

Mà a2 + b2 > 0 và c2 + b2 > 0 nên \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}} > 0\)

Suy ra \(\frac{a}{c} > 0\) nên a,c cùng dấu nên ac > 0.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < ac <1.

Mà a, c là số nguyên nên ac là số nguyên.

Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn.

Suy ra điều giả sử sai.

Vậy a2 + b2 + c2 không phải số nguyên tố.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải:

Thay m = 4 vào phương trình x2 + 3x + m – 4 = 0, ta có

x2 + 3x = 0

x (x + 3) = 0

x = 0 hoặc x = −3

Vậy tại m = 4 thì x = 0 và x = −3 là nghiệm của phương trình

Lời giải

Lời giải:

Ta có: ab + bc + ca + abc =4

abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8 = 12 + (ab + bc + ca) + 4(a + b + c)

(a + 2)(b + 2)(c + 2) = (a + 2)(b + 2)+(b + 2)(c + 2) + (c + 2) (a + 2)

\(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1\)

\(\frac{2}{{a + 2}} + \frac{2}{{b + 2}} + \frac{2}{{c + 2}} = 2\)

3 − \(\left( {\frac{2}{{a + 2}} + \frac{2}{{b + 2}} + \frac{2}{{c + 2}}} \right)\) = 1

\(\frac{a}{{a + 2}} + \frac{b}{{b + 2}} + \frac{c}{{c + 2}} = 1\)

Đặt \(x = \frac{a}{{a + 2}}\); \(y = \frac{b}{{b + 2}}\); \(z = \frac{c}{{c + 2}}\).

Khi đó x + y + z = 1 và \(\frac{1}{x} = \frac{{a + 2}}{a} = 1 + \frac{2}{a}\)

\(\frac{2}{a} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{y + z}}{x}\)

\(a = \frac{{2x}}{{x + y}}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(b = \frac{{2y}}{{z + x}};c = \frac{{2z}}{{x + y}}\)

Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\sqrt {\frac{{2x}}{{y + z}}.\frac{{2y}}{{z + x}}} + \sqrt {\frac{{2y}}{{z + x}}.\frac{{2z}}{{x + y}}} + \sqrt {\frac{{2z}}{{x + y}}.\frac{{2x}}{{y + z}}} \le 3\)

\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}}.\frac{y}{{z + x}}} + 2.\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} + 2.\sqrt {\frac{z}{{x + y}}.\frac{x}{{y + z}}} \le 3\)

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:

\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}} \cdot \frac{z}{{z + x}}} \le \frac{y}{{y + z}} + \frac{x}{{z + x}}\).                 (1)

\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}} \cdot \frac{z}{{x + y}}} \le \frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}}\).       (2)

\(2\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} \le \frac{z}{{x + z}} + \frac{y}{{x + y}}\).                (3)

Cộng theo vế của (1), (2) và (3), ta được:

 \(\begin{array}{l}2\sqrt {\frac{x}{{y + z}}.\frac{y}{{z + x}}} + 2\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} + 2\sqrt {\frac{z}{{x + y}}.\frac{x}{{y + z}}} \le \left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{y}{{x + y}}} \right) + \\\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{y + z}}} \right) + \left( {\frac{z}{{z + x}} + \frac{x}{{z + x}}} \right) = 3\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\) hay a = b = c = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP