Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a. Tính độ dài vectơ BC.

Lời giải:

Các số nguyên tố từ 1 đến 100 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Lời giải:

Ta có: \(\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\)

a (c² + b²) = c (a² + b²)

a c² + ab² = ca² + cb²

ac (c – a) − b² (c – a) = 0

(c – a) (ac − b²) = 0

Vì a ≠ c nên (a – c) ≠ 0

Do đó ac – b² = 0

ac = b²

\(\sqrt {ac} = b\)

Giả sử: a² + b² + c² là số nguyên tố

Ta có: a² + b² + c² = a² + ac + c²

= (a + c)² – ac

= (a + c)² – b²

= (a + c – b) (a + c + b)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

\( = \left[ {{{(\sqrt a - \sqrt c )}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

Vì a² + b² + c² là số nguyên tố nên có ước là 1.

Mà \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} < {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + 3\sqrt {ac} \)

Nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} = 1\)

\({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} = 1 - \sqrt {ac} \)

Vì a ≠ c nên \(\sqrt a \ne \sqrt c \) suy ra \(\sqrt a - \sqrt c \ne 0\) nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} < 0\)

Do đó \(1 - \sqrt {ac} > 0\) suy ra \(\sqrt {ac} < 1\) nên ac < 1.          (1)

Mà a² + b² > 0 và c² + b² > 0 nên \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}} > 0\)

Suy ra \(\frac{a}{c} > 0\) nên a,c cùng dấu nên ac > 0.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < ac <1.

Mà a, c là số nguyên nên ac là số nguyên.

Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn.

Suy ra điều giả sử sai.

Vậy a² + b² + c² không phải số nguyên tố.