Cho B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ 31.32 + 32.33. Chứng tỏ rằng B ⋮ 34.

Lời giải:

Ta có: A = [−4; 2] và B = [−8; a + 2].

Mà A ∩ B có vô số phần tử nên −4 < a + 2 < 2 hoặc 2 < a + 2.

Suy ra −6 < a < 0 hoăc a > 0.

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC nên a + b – c ≠ 0.

Như vậy \(\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{a + b - c}} = {c^2}\) khi

a³ + b³ − c³ = ac² + bc² – c³

a³ + b³ − ac² + bc² = 0

(a + b). (a² – ab + b²) − c² (a + b) = 0

(a + b) .( a² – ab + b² − c² ) = 0

 a² – ab + b² − c² = 0 (do a + b ≠ 0)

 a² – ab + b² = c² (1)

Mặt khác theo định lý Cosin ta có:  a² + b² – 2ab.cos \(\widehat C\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: 2cos C = 1 nên cos C = \(\frac{1}{2}\)

Do đó \(\widehat C\)= 60°.