Câu hỏi:

09/05/2025 82

Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số 2a – 1; 2b – 1; 2c – 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.

Giả sử (2a – 1)(2b – 1) ≥ 0

4ab – 2a – 2b + 1 ≥ 0

4ab ≥ 2ac + 2bc – c

2abc ≥ ac + bc – \(\frac{c}{2}\).

Khi đó thì P = ab + bc + ca – 2abc + abc ≤ ab + bc + ca – ac – bc + \(\frac{c}{2}\) + abc

= \(ab + abc + \frac{c}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + abc + \frac{c}{2}\)

= \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc}}{2} - \frac{1}{2}\left( {{c^2} - c + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{8}\)

=\(\frac{5}{8} - \frac{1}{2}{\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{8}\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho phương trình x2 + 3x + m – 4 = 0. Giải phương trình tại m = 4.

Xem đáp án » 09/05/2025 117

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a. Tính độ dài vectơ BC.

Xem đáp án » 09/05/2025 78

Câu 3:

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4. Chứng minh  \(\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \le 3\)

Xem đáp án » 09/05/2025 69

Câu 4:

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc biết \(\overline {abc} \) : 11 = a + b + c

Xem đáp án » 09/05/2025 58

Câu 5:

Hãy kể tên các tháng có 30 ngày trong năm 2025.

Xem đáp án » 09/05/2025 55

Câu 6:

Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a khác c sao cho \({a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{a}{c}\).

Chứng minh a2 + b2 + c2 không phải số nguyên tố?

Xem đáp án » 09/05/2025 54
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay