Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.

Câu hỏi:

19/08/2025 857

Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số 2a – 1; 2b – 1; 2c – 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.

Giả sử (2a – 1)(2b – 1) ≥ 0

4ab – 2a – 2b + 1 ≥ 0

4ab ≥ 2ac + 2bc – c

2abc ≥ ac + bc – \(\frac{c}{2}\).

Khi đó thì P = ab + bc + ca – 2abc + abc ≤ ab + bc + ca – ac – bc + \(\frac{c}{2}\) + abc

= \(ab + abc + \frac{c}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + abc + \frac{c}{2}\)

= \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc}}{2} - \frac{1}{2}\left( {{c^2} - c + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{8}\)

=\(\frac{5}{8} - \frac{1}{2}{\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{8}\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Các số nguyên tố từ 1 đến 100 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Xét ∆ ABC vuông tại A có

AB² + AC² = BC² (định lý Pythagoras)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)

= \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} \)= 5a

Câu 3