Câu hỏi:
09/05/2025 103
Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.
Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số 2a – 1; 2b – 1; 2c – 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.
Giả sử (2a – 1)(2b – 1) ≥ 0
4ab – 2a – 2b + 1 ≥ 0
4ab ≥ 2ac + 2bc – c
2abc ≥ ac + bc – \(\frac{c}{2}\).
Khi đó thì P = ab + bc + ca – 2abc + abc ≤ ab + bc + ca – ac – bc + \(\frac{c}{2}\) + abc
= \(ab + abc + \frac{c}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + abc + \frac{c}{2}\)
= \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc}}{2} - \frac{1}{2}\left( {{c^2} - c + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{8}\)
=\(\frac{5}{8} - \frac{1}{2}{\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{8}\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải:
Thay m = 4 vào phương trình x2 + 3x + m – 4 = 0, ta có
x2 + 3x = 0
x (x + 3) = 0
x = 0 hoặc x = −3
Vậy tại m = 4 thì x = 0 và x = −3 là nghiệm của phương trình
Lời giải
Lời giải:
Ta có: ab + bc + ca + abc =4
abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8 = 12 + (ab + bc + ca) + 4(a + b + c)
(a + 2)(b + 2)(c + 2) = (a + 2)(b + 2)+(b + 2)(c + 2) + (c + 2) (a + 2)
\(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1\)
\(\frac{2}{{a + 2}} + \frac{2}{{b + 2}} + \frac{2}{{c + 2}} = 2\)
3 − \(\left( {\frac{2}{{a + 2}} + \frac{2}{{b + 2}} + \frac{2}{{c + 2}}} \right)\) = 1
\(\frac{a}{{a + 2}} + \frac{b}{{b + 2}} + \frac{c}{{c + 2}} = 1\)
Đặt \(x = \frac{a}{{a + 2}}\); \(y = \frac{b}{{b + 2}}\); \(z = \frac{c}{{c + 2}}\).
Khi đó x + y + z = 1 và \(\frac{1}{x} = \frac{{a + 2}}{a} = 1 + \frac{2}{a}\)
\(\frac{2}{a} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{y + z}}{x}\)
\(a = \frac{{2x}}{{x + y}}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có \(b = \frac{{2y}}{{z + x}};c = \frac{{2z}}{{x + y}}\)
Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt {\frac{{2x}}{{y + z}}.\frac{{2y}}{{z + x}}} + \sqrt {\frac{{2y}}{{z + x}}.\frac{{2z}}{{x + y}}} + \sqrt {\frac{{2z}}{{x + y}}.\frac{{2x}}{{y + z}}} \le 3\)
\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}}.\frac{y}{{z + x}}} + 2.\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} + 2.\sqrt {\frac{z}{{x + y}}.\frac{x}{{y + z}}} \le 3\)
Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:
\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}} \cdot \frac{z}{{z + x}}} \le \frac{y}{{y + z}} + \frac{x}{{z + x}}\). (1)
\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}} \cdot \frac{z}{{x + y}}} \le \frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}}\). (2)
\(2\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} \le \frac{z}{{x + z}} + \frac{y}{{x + y}}\). (3)
Cộng theo vế của (1), (2) và (3), ta được:
\(\begin{array}{l}2\sqrt {\frac{x}{{y + z}}.\frac{y}{{z + x}}} + 2\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} + 2\sqrt {\frac{z}{{x + y}}.\frac{x}{{y + z}}} \le \left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{y}{{x + y}}} \right) + \\\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{y + z}}} \right) + \left( {\frac{z}{{z + x}} + \frac{x}{{z + x}}} \right) = 3\end{array}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\) hay a = b = c = 1
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.