Tìm x, y là các số nguyên tố sao cho x2 + 3xy + y2 là số chính phương

Lời giải: +, Nếu x,y đều khác 3 ⇒ x và y đều ko chia hết cho 3 ⇒ x2 và y2 đều chia 3 dư 1 ⇒ x2 + y2 chia 3 dư 2 Mà 3xy chia hết cho 3 ⇒ x2 + 3xy + y2 chia 3 dư 2 ⇒ x2 + 3xy + y2 không phải số chính phương ⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 Giả sử x chia hết cho 3 ⇒ x = 3 ⇒ A = x2 + 3xy + y2 = y2 + 9y + 9 Đặt A = k2 (k là số tự nhiên) ⇒ y2 + 9y + 9 ⇒ 4y2 + 36y + 36 = (2k)2 ⇒ (2y + 9)2 - 45 = (2k)2 ⇒ (2y + 9) - (2k)2 = 45 ⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45 Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9 Ta có bảng sau: 2y – 2k + 9 1 3 5 2y + 2k+ 9 45 15 9 y 7 0 -1 (L) k 11 3 1 Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.

Câu hỏi:

10/05/2025 42

Tìm x, y là các số nguyên tố sao cho x² + 3xy + y² là số chính phương

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

+, Nếu x,y đều khác 3

⇒ x và y đều ko chia hết cho 3

⇒ x² và y² đều chia 3 dư 1

⇒ x²+ y² chia 3 dư 2

Mà 3xy chia hết cho 3

⇒ x² + 3xy + y² chia 3 dư 2

⇒ x² + 3xy + y² không phải số chính phương

⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Giả sử x chia hết cho 3

⇒ x = 3

⇒ A = x² + 3xy + y² = y² + 9y + 9

Đặt A = k² (k là số tự nhiên)

⇒ y² + 9y + 9

⇒ 4y² + 36y + 36 = (2k)²

⇒ (2y + 9)² - 45 = (2k)²

⇒ (2y + 9) - (2k)² = 45

⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45

Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9

Ta có bảng sau:

2y – 2k + 9	1	3	5
2y + 2k+ 9	45	15	9
y	7	0	-1 (L)
k	11	3	1

Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Câu 2

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 3xy\left( {3x + y} \right) = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\{\left( {2x + y} \right)^3} = {\left( {x + y + 1} \right)^3}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\2x + y = x + y + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = - 4\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x;y) = (1;4) , (1;-4)

Câu 3