Tìm x, y là các số nguyên tố sao cho x2 + 3xy + y2 là số chính phương

Lời giải: +, Nếu x,y đều khác 3 ⇒ x và y đều ko chia hết cho 3 ⇒ x2 và y2 đều chia 3 dư 1 ⇒ x2 + y2 chia 3 dư 2 Mà 3xy chia hết cho 3 ⇒ x2 + 3xy + y2 chia 3 dư 2 ⇒ x2 + 3xy + y2 không phải số chính phương ⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 Giả sử x chia hết cho 3 ⇒ x = 3 ⇒ A = x2 + 3xy + y2 = y2 + 9y + 9 Đặt A = k2 (k là số tự nhiên) ⇒ y2 + 9y + 9 ⇒ 4y2 + 36y + 36 = (2k)2 ⇒ (2y + 9)2 - 45 = (2k)2 ⇒ (2y + 9) - (2k)2 = 45 ⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45 Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9 Ta có bảng sau: 2y – 2k + 9 1 3 5 2y + 2k+ 9 45 15 9 y 7 0 -1 (L) k 11 3 1 Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.

Câu hỏi:

19/08/2025 178

Tìm x, y là các số nguyên tố sao cho x² + 3xy + y² là số chính phương

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

+, Nếu x,y đều khác 3

⇒ x và y đều ko chia hết cho 3

⇒ x² và y² đều chia 3 dư 1

⇒ x²+ y² chia 3 dư 2

Mà 3xy chia hết cho 3

⇒ x² + 3xy + y² chia 3 dư 2

⇒ x² + 3xy + y² không phải số chính phương

⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Giả sử x chia hết cho 3

⇒ x = 3

⇒ A = x² + 3xy + y² = y² + 9y + 9

Đặt A = k² (k là số tự nhiên)

⇒ y² + 9y + 9

⇒ 4y² + 36y + 36 = (2k)²

⇒ (2y + 9)² - 45 = (2k)²

⇒ (2y + 9) - (2k)² = 45

⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45

Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9

Ta có bảng sau:

2y – 2k + 9	1	3	5
2y + 2k+ 9	45	15	9
y	7	0	-1 (L)
k	11	3	1

Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải phương trình \({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{2}\)

\({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)

⇔ \({x^2} + 2x\sqrt {2x - 1} + 2x - 1 = 4\left( {2x - 1} \right) + 4\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \({\left( {x + \sqrt {2x - 1} } \right)^2} = {\left( {2\sqrt {2x - 1} + 1} \right)^2}\) (*)

Do \(x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x - 1} > 0\\2\sqrt {2x - 1} + 1 > 0\end{array} \right.\)

Nên (*) tương đương: \(x + \sqrt {2x - 1} = 2\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \(x - 1 = \sqrt {2x - 1} \)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2x - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(x = 2 + \sqrt 2 \)

Câu 2

Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁷ + x⁵ + 1

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

x⁷ + x⁵ + 1

= (x⁷ + x⁶ + x⁵) – (x⁶ – 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x³ – 1)(x³ + 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1)

= (x² + x + 1)[x⁵ – (x – 1)(x³ + 1)]

Câu 3