Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 + y2 + z2 + xyz = 20

Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1 Khi đó ta có: x2 + y2 + z2 + xyz = 20 ≥ z3 + 3z2 suy ra z = 1 hoặc z = 2 Với z = 1: 19 = xy + x2 + y2 ≥ y2 + y2 + y2 = 3y2 ⇒ y = 1 hoặc y = 2 Với y = 1: x2 + 1 + 1 + x = 20 ⇔ x2 + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương. Với y = 2: x2 + 22 + 12 + 1.2.x = 20 ⇔ x2 + 2x − 15 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 5) = 0 ⇒ x = 3 thỏa mãn. Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị. Với z = 2: 20 = 2xy + x2 + y2 + 4 ≥ 2y2 + y2 + y2 = 4y2 ⇒ y = 2 x2 + 22 + 22 + 2.2.x = 20 ⇔ x2 + 4x−12=0 ⇔ (x − 2)(x + 6) = 0 ⇒ x = 2 thỏa mãn. Ta có nghiệm là (2,2,2).

Câu hỏi:

10/05/2025 35

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x² + y² + z² + xyz = 20

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1

Khi đó ta có: x² + y² + z² + xyz = 20 ≥ z³ + 3z²

suy ra z = 1 hoặc z = 2

Với z = 1:

19 = xy + x² + y2 ≥ y² + y² + y² = 3y²

⇒ y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1: x² + 1 + 1 + x = 20

⇔ x² + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương.

Với y = 2: x² + 2² + 1² + 1.2.x = 20

⇔ x² + 2x − 15 = 0

⇔ (x − 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 3 thỏa mãn.

Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị.

Với z = 2:

20 = 2xy + x² + y² + 4 ≥ 2y² + y² + y² = 4y²

⇒ y = 2

x² + 2² + 2² + 2.2.x = 20

⇔ x² + 4x−12=0

⇔ (x − 2)(x + 6) = 0

⇒ x = 2 thỏa mãn.

Ta có nghiệm là (2,2,2).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Câu 2

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 3xy\left( {3x + y} \right) = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\{\left( {2x + y} \right)^3} = {\left( {x + y + 1} \right)^3}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\2x + y = x + y + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = - 4\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x;y) = (1;4) , (1;-4)

Câu 3