Chứng minh rằng nếu x, y là hai số nguyên dương thoả mãn x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0 thì 2y - x là số chính phương

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0

⇔ x² + 4xy – 12y² + 4y² – 4y + 1 = 0

⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)² = 0

⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)²

Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\left( 1 \right)\]

Mà (2y – 1)² = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d²

Suy ra: 2y – 1\[ \vdots d\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d = 1

Tức là 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau mà tích của 2 số là số chính phương

Nên 2y - x và x + 6y là số chính phương

Vậy 2y - x là số chính phương

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm nào đến hết năm nào?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm 1501 đến năm 1600.

Câu 2

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Câu 3