Tìm tất cả số nguyên tố p để phương trình x³ + y³ - 3xy + 1 = p có nghiệm nguyên dương.

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

 Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Lời giải:

Nhân phương trình thứ hai với 3 và cộng với phương trình thứ nhất ta được:

(x + 1)³ + 3y²(x + 1) – 30y(x + 1) + 75(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)[(x + 1)² + 3(y – 5)²] = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 5\end{array} \right.\)

Với x = -1 thì ta có: y² – 2y – 15 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = - 3\\y = 5\end{array} \right.\)

Với y = 5 thì (x + 1)³ = 0 suy ra x = -1

Vậy (x;y) = {(-1;-3), (-1;5)}