Tìm tất cả số nguyên tố p để phương trình x3 + y3 - 3xy + 1 = p có nghiệm nguyên dương.

Lời giải: Giả thiết tương đương với: (x + y + 1)(x2 + y2 + 1 – xy – x − y) = p Do x + y + 1 > 1 và p là số nguyên tố nên x + y + 1 = p và x2 + y2 + 1 – xy – x – y = 1 ⇔ ({ left( {x + y} right)^2} - left( {x + y} right) = 3xy le frac{3}{4}{ left( {x + y} right)^2} ) ⇒ x + y ≤ 4 ⇒ p ≤ 5 Ta thấy 5 là số nguyên tố. Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2. Vậy max p = 5 khi x = y = 2.

Câu hỏi:

10/05/2025 49

Tìm tất cả số nguyên tố p để phương trình x³ + y³ - 3xy + 1 = p có nghiệm nguyên dương.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Giả thiết tương đương với:

(x + y + 1)(x² + y² + 1 – xy – x − y) = p

Do x + y + 1 > 1 và p là số nguyên tố nên x + y + 1 = p và

x² + y² + 1 – xy – x – y = 1

⇔ \({\left( {x + y} \right)^2} - \left( {x + y} \right) = 3xy \le \frac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\)

⇒ x + y ≤ 4

⇒ p ≤ 5

Ta thấy 5 là số nguyên tố. Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.

Vậy max p = 5 khi x = y = 2.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm nào đến hết năm nào?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm 1501 đến năm 1600.

Câu 2

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Câu 3