Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

 

a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC).

c) Chứng mình rằng nếu AO ⊥ BC thì SA ⊥ BC.

d) Xác định hình chiếu của tam giác SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) nên SO⊥ (ABC)

Mà OA, OB, OC ⊂ (ABC), suy ra SO ⊥ OA, SO ⊥ OB, SO ⊥ OC

Xét tam giác SAO vuông tại O (SO ⊥ OA) có

SA² = OA² + SO² (Định lí Pytago)

Xét tam giác SBO vuông tại O (SO ⊥ OB) có

SB² = OB² + SO² (Định lí Pytago)

Xét tam giác SCO vuông tại O (SO ⊥ OC) có

SC² = OC² + SO² (Định lí Pytago)

Mà SA = SB = SC nên OA = OB = OC

Do đó O là tâm đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)

Suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

c) Ta có AO ⊥ BC, SO ⊥ BC (do SO ⊥ (ABC)), AO ∩ SO = {O}

Suy ra BC ⊥ (SAO); SA ⊂ (SAO)

Suy ra SA ⊥ BC.

d) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC)

C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC)

Suy ra tam giác OAB là hình chiếu của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABC)

Tam giác OBC là hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC)

Tam giác OCA là hình chiếu của tam giác SCA trên mặt phẳng (ABC).