Hình thoi có cạnh là a, một góc bằng 60°. Tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình thoi có AB = a và góc \[\widehat A = 60^\circ \].

Xét ΔABD có AB = AD và góc \[\widehat A = 60^\circ \] nên ΔABD đều.

Suy ra BD = AB = a

Gọi giao của AC và BD là H.

Nên AC vuông góc với BD tại H và H là trung điểm chung của AC và BD

Suy ra \[HB = HD = \frac{a}{2}\].

Xét ∆ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = AH² + BH²

Suy ra \[AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Do đó \[AC = 2AH = a\sqrt 3 \]

Khi đó, \[{S_{ABCD}} = \frac{{BD \cdot AC}}{2} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\].