Bạn An có ngày sinh là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn 20, tháng sinh của bạn là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy bạn An có ngày và tháng sinh là bao nhiêu?          

Hướng dẫn giải

Xét biểu thức \(A = 2 + {21^{23}} + {25^{125}}.\)

Ta có \({21^{23}}\) có chữ số tận cùng là 1 (vì \[{\left( {\overline {...1} } \right)^n} = \overline {...1} ).\]

         \({25^{125}}\) có chữ số tận cùng là 5 (vì \[{\left( {\overline {...5} } \right)^n} = \overline {...5} ).\]

Khi đó, \(A = 2 + {21^{23}} + {25^{125}}\) có chữ số tận cùng là: \(2 + 1 + 5 = 8\) (có dạng \(\overline {...8} )\) nên \(A\,\, \vdots \,\,2.\)

Mà \(A = 2 + {21^{23}} + {25^{125}} > 1\) và có nhiều hơn 2 ước nên \(A\) là hợp số.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 3.

Ta thấy rằng số \(m\) có dạng \(\overline {21ab} \) với \(a,\,\,b \in \mathbb{N};\,\,0 \le a,\,\,b \le 9;\,\,26 \le \overline {ab} \le 53.\)

Tổng các chữ số của \(m\) là: \(2 + 1 + a + b = a + b + 3.\)

Để số \(m\) chia hết cho 9 thì \(\left( {a + b + 3} \right)\,\, \vdots \,\,9.\)

Suy ra, \(a + b \in \left\{ {6;\,\,15} \right\}.\)

Vậy có 3 số tự nhiên \(m\) cần tìm là: \(2133;\,\,2142;\,\,2151.\)