Cho A = 1 + \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}}\). Chứng minh 50 < A < 100

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

A = 1 + \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{15}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{99}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}}} \right)\)

Ta thấy \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.2;\)

\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} < \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}}.4\)

…

Làm tương tự với các ngoặc còn lại, ta được:

A < \(1 + \frac{1}{2}.2 + \frac{1}{{{2^2}}}{.2^2} + \frac{1}{{{2^3}}}{.2^3} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}}{.2^{99}}\) = 1 + 1 + … + 1 = 100

Suy ra: A < 100.

Mặt khác:

A = 1 + \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{99}} + 1}} + ... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}} + \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right) - \frac{1}{{{2^{100}}}}\)

Ta thấy: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{{{2^2}}}.2 = \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{{{2^3}}}.4\)\( = \frac{1}{2}\)

…

Làm tương tự với các ngoặc còn lại, ta được:

A > \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^{100}}}}\) = 50 + 1 – \(\frac{1}{{{2^{100}}}}\) > 50

Vậy 50 < A < 100.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai vectơ \[{\rm{\vec a}}\] và \[{\rm{\vec b}}\] khác vectơ 0 thỏa mãn \[{\rm{\vec a}}{\rm{.\vec b}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{\vec a}}} \right|{\rm{.}}\left| {{\rm{\vec b}}} \right|\]. Khi đó góc giữa 2 vecto \[{\rm{\vec a}}\] bà \[{\rm{\vec b}}\] là?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Có: \[{\rm{\vec a}}{\rm{.\vec b}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{\vec a}}} \right|{\rm{.}}\left| {{\rm{\vec b}}} \right|\]

Suy ra: \[\frac{{{\rm{\vec a}}{\rm{.\vec b}}}}{{\left| {{\rm{\vec a}}} \right|{\rm{.}}\left| {{\rm{\vec b}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra: cos(\[{\rm{\vec a}}\];\[{\rm{\vec b}}\]) = \[\frac{1}{2}\]

Vậy góc giữa 2 vectơ \[{\rm{\vec a}}\] và \[{\rm{\vec b}}\] là 60°.

Câu 2

Cho hình vuông có diện tích là 20 cm² và diện tích hình tròn nằm bên trong (hình vẽ). Tính diện tích phần tô đậm.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Chia hình vuông ABCD thành 4 hình vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. Mỗi cạnh của hình vuông nhỏ bằng bán kính của hình tròn tâm O

Diện tích 1 hình vuông nhỏ là:

20 : 4 = 5 (cm²)

Do đó tích 2 bán kính của hình tròn tâm O là 5 cm²

Diện tích hình tròn tâm O là:

5 ´ 3,14 = 15,7 (cm²)

Diện tích phần tô đậm là:

20 – 15,7 = 4,3 (cm²)

Đáp số: 4,3 cm²

Câu 3