Cho A = 1 + \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}}\). Chứng minh 50 < A < 100
Cho A = 1 + \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}}\). Chứng minh 50 < A < 100
Quảng cáo
Trả lời:

Lời giải:
A = 1 + \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{15}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{99}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}}} \right)\)
Ta thấy \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.2;\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} < \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}}.4\)
…
Làm tương tự với các ngoặc còn lại, ta được:
A < \(1 + \frac{1}{2}.2 + \frac{1}{{{2^2}}}{.2^2} + \frac{1}{{{2^3}}}{.2^3} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}}{.2^{99}}\) = 1 + 1 + … + 1 = 100
Suy ra: A < 100.
Mặt khác:
A = 1 + \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{99}} + 1}} + ... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}} + \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right) - \frac{1}{{{2^{100}}}}\)
Ta thấy: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{{{2^2}}}.2 = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{{{2^3}}}.4\)\( = \frac{1}{2}\)
…
Làm tương tự với các ngoặc còn lại, ta được:
A > \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^{100}}}}\) = 50 + 1 – \(\frac{1}{{{2^{100}}}}\) > 50
Vậy 50 < A < 100.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải:
Số tập con có một phần tử của X là: {4}, {5}
Lời giải
Phân giác AD (giả thiết) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {MAD} = \frac{1}{2}.\widehat A = 35^\circ \)
Mà MD // AB suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {ADM}\) (so le trong)
Do đó \(\widehat {ADM} = 35^\circ \)
Vậy \(\widehat {BAD} = 35^\circ ;\,\,\,\widehat {ADM} = 35^\circ \)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.