Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Qua trung điểm I của bán kính OB. Kẻ dây CD vuông góc với AB. Kẻ dây CE song song với AB. Chứng minh rằng:

a) AE = BC = BD

b) E, O, D thẳng hàng

c) Tứ giác ADBE là hình chữ nhật

a) Ta có: CD \( \bot \)AB tại I (giả thiết)

suy ra: I là trung điểm của CD ( quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tứ giác OCBD

Có 2 đường chéo CD và OB vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

Suy ra: OCBD là hình thoi (tính chất)

Suy ra: BD = CB (1)

Ta có: AB // EC (giả thiết)  

Suy ra: \[\widehat {{\rm{AOE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OEC}}}\] (so le trong); \[\widehat {{\rm{COB}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OCE}}}\](so le trong)

Mà \[\widehat {{\rm{OEC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OCE}}}\]( EOC cân tại O)

Suy ra: \[\widehat {{\rm{AOE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{COB}}}\]

Suy ra: (c.g.c)

Suy ra AE = CB (2)

Từ (1) (2) suy ra AE = BC = BD

b) Có (c.c.c) (3)

Suy ra: \[\widehat {{\rm{AOE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{COB}}}\](2 góc tương ứng)

Mà A, O, B thẳng hàng

Suy ra: E, O, D thẳng hàng

c) Xét cân tại O có:

DI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Suy ra  đều (4)

Từ (3) (4) suy ra \[\widehat {{\rm{EAO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OBD}}}\]

Mà 2 góc ở vị trí so le trong

Suy ra AE // BD

Xét tứ giác ADBE có:

AE // BD (chứng minh trên)

AE = BD (chứng minh trên)

Suy ra ADBE là hình bình hành

Mà ED = AB (2 đường kính)

Suy ra ADBE là hình chữ nhật