Câu hỏi:
18/06/2025 23
Cho \(S = \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{2}{{{7^3}}} + \frac{3}{{{7^4}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{70}}}}\). Chứng minh \(S < \frac{1}{{36}}\)
Cho \(S = \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{2}{{{7^3}}} + \frac{3}{{{7^4}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{70}}}}\). Chứng minh \(S < \frac{1}{{36}}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Ta có: \(S = \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{2}{{{7^3}}} + \frac{3}{{{7^4}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{70}}}}\)
\(\begin{array}{l}7S = \frac{1}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{69}}}}\\7S - S = \left( {\frac{1}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{69}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{{{7^2}}} + \frac{2}{{{7^3}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{70}}}}} \right)\\6S = \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{1}{{{7^3}}} + ... + \frac{1}{{{7^{69}}}} - \frac{{69}}{{{7^{70}}}}\end{array}\)
Đặt \(N = \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{1}{{{7^3}}} + ... + \frac{1}{{{7^{69}}}}\,\,\,\left( {6S < N\,\,} \right)\,\,(1)\)
\(\begin{array}{l}7N = 1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{7^{68}}}}\\7N - N = \left( {1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{7^{68}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{1}{{{7^3}}} + ... + \frac{1}{{{7^{69}}}}} \right)\\6N = 1 - \frac{1}{{{7^{69}}}} < 1\\ \Rightarrow N < \frac{1}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta được: \(6S < N < \frac{1}{6} \Rightarrow 6S < \frac{1}{6} \Rightarrow S < \frac{1}{{36}}\,\,(dpcm)\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải:
Có: \[{\rm{\vec a}}{\rm{.\vec b}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{\vec a}}} \right|{\rm{.}}\left| {{\rm{\vec b}}} \right|\]
Suy ra: \[\frac{{{\rm{\vec a}}{\rm{.\vec b}}}}{{\left| {{\rm{\vec a}}} \right|{\rm{.}}\left| {{\rm{\vec b}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]
Suy ra: cos(\[{\rm{\vec a}}\];\[{\rm{\vec b}}\]) = \[\frac{1}{2}\]
Vậy góc giữa 2 vectơ \[{\rm{\vec a}}\] và \[{\rm{\vec b}}\] là 60°.
Lời giải
Lời giải:
Chia hình vuông ABCD thành 4 hình vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. Mỗi cạnh của hình vuông nhỏ bằng bán kính của hình tròn tâm O
Diện tích 1 hình vuông nhỏ là:
20 : 4 = 5 (cm2)
Do đó tích 2 bán kính của hình tròn tâm O là 5 cm2
Diện tích hình tròn tâm O là:
5 ´ 3,14 = 15,7 (cm2)
Diện tích phần tô đậm là:
20 – 15,7 = 4,3 (cm2)
Đáp số: 4,3 cm2
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
Nhắn tin Zalo