Cho tam giác ABC có \(AB = 4\sqrt 2 \); AC = 6, \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm E thỏa mãn \(AE = k\overrightarrow {AC} \,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\). Chứng minh rằng: AD ^ BE khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\)

Ta có: AD ^ BE \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow kA{C^2} - A{B^2} + \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow kA{C^2} - A{B^2} + \left( {k - 1} \right).AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow k{.6^2} - {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} + (k - 1).4\sqrt 2 .6.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 36k - 32 + 24\left( {k - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 60k = 56 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\end{array}\)