Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho IB = 3IC. Gọi J và K lần lượt là hai điểm trên cạnh AC, AB sao cho JA = 2JC, KB = 3KA. Biểu diễn \(\overrightarrow {BC} \) theo \(\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {JK} \)

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KJ} + \overrightarrow {JC} \)         (1)

Mà \(\overrightarrow {BK} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right) = - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AI} - \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {JC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \)

Thay vào (1) \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BC} + KJ + \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} + \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {JK} \)

Vậy \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AI} - 6\overrightarrow {JK} \)