Tìm a, b là các số nguyên dương sao cho a + b² chia hết cho a²b – 1.

Lời giải:

Theo đề bài: a + b² \( \vdots \) a²b – 1

Suy ra \(\exists k \in {\mathbb{N}^*}:\,\,a + {b^2} = k({a^2}b - 1)\) nên a + k = b(ka² – b)

Đặt m = ka² – b \(\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\) thì ta được a + k = mb

Mặt khác do a, k, b Î \({\mathbb{N}^*}\) nên cho ta m Î \({\mathbb{N}^*}\)

Từ đó ta có: (m – 1)(b – 1) = mb – m – b + 1 = a + k – ka² + 1 = (a + 1)(k – ka + 1)

Vì m, b Î \({\mathbb{N}^*}\) nên (m – 1)(b – 1) ³ 0

Do đó (a + 1)(k – ka + 1) ³ 0 nên 1 ³ k(a – 1).

Vì k, a Î \({\mathbb{N}^*}\) nên a – 1 ³ 0. Suy ra có 2 TH xảy ra:

TH1: k(a – 1) = 0 Þ a – 1 = 0 Û a = 1.

Thay a = 1 vào đẳng thức (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k – ka + 1) ta được:

(m – 1)(b – 1) = 2 Þ b – 1 = 1 hoặc b – 1 = 2 Þ b = 2 hoặc b = 3.

TH2: k(a – 1) = 1 Þ k = a – 1 = 1 hay k = 1 và a = 2.

Thay k = 1 và a = 2 vào đẳng thức (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k – ka + 1) ta được:

(m – 1)(b – 1) = 0 Þ m – 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 Û m = 1 và b = 1

Nếu như m = 1 thì từ đẳng thức a + k = mb cho ta thấy b = 3.

Vậy có 4 cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 3)