Câu hỏi:
27/06/2025 3
Trong không gian, cho (C) là đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (C). Cho S là điểm không thuộc (P) sao cho \[SA \bot \left( P \right)\]. Đặt SA = h. Giả sử M là một điểm di động trên (C) sao cho M khác A và B. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SM. Tìm điểm M trên (C) sao cho diện tích tam giác AHK lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R và h.
Câu hỏi trong đề: Đề thi Toán ĐGNL Đại học Sư phạm Hà Nội 2024 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Trong không gian, cho (C) là đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (C). Cho S là điểm không thuộc (P) sao cho \[SA \bot \left( P \right)\]. Đặt SA = h. Giả sử M là một điểm di động trên (C) sao cho M khác A và B. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SM. Tìm điểm M trên (C) sao cho diện tích tam giác AHK lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R và h. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid6-1751015551.png)
Vì \(MB \bot MA\) và \(MB \bot SA\), suy ra \(MB \bot (SAM)\).
Do đó \(MB \bot AK\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SM}\\{AK \bot MB}\end{array}} \right. \Rightarrow AK \bot (SBM)\). Vì \(KH \subset (SBM)\), nên \(AK \bot KH\).\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{4{R^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2Rh}}{{\sqrt {4{R^2} + {h^2}} }}\).
\({S_{AHK}} = \frac{{AK \cdot KH}}{2}\)
\( = \frac{{AK \cdot \sqrt {A{H^2} - A{K^2}} }}{2} \le \frac{{A{K^2} + (A{H^2} - A{K^2})}}{4} = \frac{{A{H^2}}}{4} = \frac{{{R^2}{h^2}}}{{4{R^2} + {h^2}}}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(AK = \sqrt {A{H^2} - A{K^2}} \Leftrightarrow AK = \frac{{AH}}{{\sqrt 2 }}\).
Khi đó
\(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} - \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{2}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{{h^2}}} = 2\left( {\frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{4{R^2}}}} \right) - \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{2{R^2}}}\).
Suy ra \(AM = \frac{{\sqrt 2 Rh}}{{\sqrt {2{R^2} + {h^2}} }}\).Kiểm tra trực tiếp ta có \(0 < AM = \frac{{\sqrt 2 Rh}}{{\sqrt {2{R^2} + {h^2}} }} < 2R\).
Vì thế M là giao điểm của đường tròn (C) và đường tròn tâm A, bán kính \(\frac{{\sqrt 2 Rh}}{{\sqrt {2{R^2} + {h^2}} }}\).
Giá trị lớn nhất của \({S_{AHK}}\) là \(\frac{{{R^2}{h^2}}}{{4{R^2} + {h^2}}}\) khi \(AM = \frac{{\sqrt 2 Rh}}{{\sqrt {2{R^2} + {h^2}} }}\).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo