Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ||z|+2i| = |z(1+i)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z-4i|+2|z+3-i|.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ giả thiết, ta có: \(\sqrt {|z{|^2} + 4} = |z|.|1 + i|\).
Suy ra \(\sqrt {|z{|^2} + 4} = \sqrt 2 |z| \Leftrightarrow |z{|^2} + 4 = 2|z{|^2} \Leftrightarrow |z| = \sqrt 2 \).Gọi M(a; b) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó M nằm trên đường tròn (C) tâm O, bán kính 2. Suy ra \({a^2} + {b^2} = 4\).
Gọi A(0; 4) là điểm biểu diễn số phức 4i; B(-3; 1) là điểm biểu diễn số phức -3 + i.
Ta có: \(|z - 4i| = |\overrightarrow {AM} | = MA\); \(|z + 3 - i| = |z - ( - 3 + i)| = |\overrightarrow {BM} | = MB\)
Suy ra \(P = |z - 4i| + 2|z + 3 - i| = MA + 2MB\).Gọi C(0; 1) là điểm biểu diễn số phức i. Ta chứng minh MA = 2MC. Thực vậy: \(MA = 2MC \Leftrightarrow A{M^2} = 4C{M^2} \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 4)^2} = 4[{a^2} + {(b - 1)^2}]\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 16 - 8b = 4({a^2} + {b^2} + 1 - 2b) \Leftrightarrow 20 - 8b = 4(5 - 2b)\).
Điều này là đúng.Do đó: \(P = 2MC + 2MB \ge 2BC = 6\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(M = {M_0}\) : giao điểm của đoạn thẳng BC với đường tròn (C).
Dễ thấy \({M_0}( - \sqrt 3 ;1)\) và tương ứng với số phức \(z = - \sqrt 3 + i\).
Vậy Min P = 6 và đạt được tại \(z = - \sqrt 3 + i\).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Hình vẽ bên minh hoạ mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Biết rằng đường cong AOB của mặt cắt là một phần của đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)\]. Hãy tính diện tích hình phẳng được tô màu đậm, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid5-1751015527.png)
Lời giải
Ta có: \(5 = \frac{3}{{100}}( - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5}\\{x = 10}\end{array}} \right.\). Suy ra \(A( - 5;5)\).
Diện tích của hình phẳng được tô màu đậm bằng:
\(S = \int_{ - 5}^{10} {\left[ {5 - \frac{3}{{100}}( - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2})} \right]} dx\)\(S = \int_{ - 5}^{10} {( - \frac{1}{{100}}{x^3} - \frac{3}{{20}}{x^2} + 5)} dx = \left[ { - \frac{1}{{100}}\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{{20}}\frac{{{x^3}}}{3} + 5x} \right]|_{ - 5}^{10}\)
Vậy \(S = \frac{{675}}{{16}}({m^2}) = 42,1875({m^2})\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo