✕

✨ Đăng kí VIP để truy cập không giới hạn. Đăng ký ngay

Câu hỏi:

27/06/2025 1

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ||z|+2i| = |z(1+i)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z-4i|+2|z+3-i|.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Toán ĐGNL Đại học Sư phạm Hà Nội 2024 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ||z|+2i| = |z(1+i)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z-4i|+2|z+3-i|. (ảnh 1)

Từ giả thiết, ta có: \(\sqrt {|z{|^2} + 4} = |z|.|1 + i|\).

Suy ra \(\sqrt {|z{|^2} + 4} = \sqrt 2 |z| \Leftrightarrow |z{|^2} + 4 = 2|z{|^2} \Leftrightarrow |z| = \sqrt 2 \).

Gọi M(a; b) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó M nằm trên đường tròn (C) tâm O, bán kính 2. Suy ra \({a^2} + {b^2} = 4\).

Gọi A(0; 4) là điểm biểu diễn số phức 4i; B(-3; 1) là điểm biểu diễn số phức -3 + i.

Ta có: \(|z - 4i| = |\overrightarrow {AM} | = MA\); \(|z + 3 - i| = |z - ( - 3 + i)| = |\overrightarrow {BM} | = MB\)

Suy ra \(P = |z - 4i| + 2|z + 3 - i| = MA + 2MB\).

Gọi C(0; 1) là điểm biểu diễn số phức i. Ta chứng minh MA = 2MC. Thực vậy: \(MA = 2MC \Leftrightarrow A{M^2} = 4C{M^2} \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 4)^2} = 4[{a^2} + {(b - 1)^2}]\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 16 - 8b = 4({a^2} + {b^2} + 1 - 2b) \Leftrightarrow 20 - 8b = 4(5 - 2b)\).

Điều này là đúng.

Do đó: \(P = 2MC + 2MB \ge 2BC = 6\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(M = {M_0}\) : giao điểm của đoạn thẳng BC với đường tròn (C).

Dễ thấy \({M_0}( - \sqrt 3 ;1)\) và tương ứng với số phức \(z = - \sqrt 3 + i\).

Vậy Min P = 6 và đạt được tại \(z = - \sqrt 3 + i\).

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm là hàm liên tục trên R, dấu của f’(x) được cho bởi bảng như sau:

x

\[ - \infty \] – 2 – 1 2 4 \[ + \infty \]

f’(x)

+ 0 - 0 + 0 - 0 +

Hàm số \(g(x) = - 2f(x) + 2024\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. \(( - 2; - 1)\).

B. \(( - 4;2)\).

C. \(( - 1;2)\).

D. \((2;4)\).

Lời giải

C. \(( - 1;2)\).

Câu 2

Cho \((C)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2},x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) song song hoặc trùng với trục hoành?

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Lời giải

B. 2.

Câu 3

Trong không gian, cho đoạn thẳng AB có độ dài 4A. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn \[M{A^2} + 3M{B^2} = 76{a^2}\] là mặt cầu (S). Diện tích của mặt cầu (S) bằng

A. 64a²

B. 16πa²

C. 64πa²

D. 16 a².

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\]. Đường thẳng nào sau đây nằm trong mặt phẳng (P)?

A. \[\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}.\]

B. \[\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}.\]

C. \[\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 1}}.\]

D. \[\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có bao nhiêu tập hợp con gồm 4 phần tử là 4 chữ số phân biệt?

A. \(A_{10}^4\).

B. \(C_9^4\).

C. 4!.

D. \(C_{10}^4\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(2;3;4)\), \(B(4;5;6)\). Gọi \(M\) là một điểm di động trên mặt phẳng \((Oxy)\). Giá trị nhỏ nhất của \(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} |\) bằng bao nhiêu?

A. 12.

B. 6.

C. 10.

D. 8.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = t}\\{z = 0}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC là tam giác đều. Mặt phẳng \((P)\) có phương trình là

A. \(x + y - z - 1 = 0\).

B. \(x + y + z - 1 = 0\) hoặc \(x + y - z - 1 = 0\).

C. \(x + y + z + 1 = 0\) hoặc \(x + y - z + 1 = 0\).

D. \(x + y + z - 1 = 0\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »