(1,0 điểm) Cho \(\widehat {xOy} = 60^\circ \). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A,\) trên \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA > OB.\)Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(Oy\). Qua \(B\) vẽ đường thẳng song song với \(Ox\). Hai đường thẳng này cắt nhau tại \(C.\)

a) Kẻ tia phân giác của \(\widehat {OAC}\), tia này cắt \(BC\) ở \(D\). Tính số đo \(\widehat {ADC}.\)

b) Kẻ tia phân giác của \(\widehat {OBC}\), tia này cắt \(OA\) ở \(E\). Chứng minh \(AD\parallel BE.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(Oy\parallel AC\) nên \(\widehat {xAC} = \widehat {xOy} = 60^\circ \) (đồng vị).

Mà \(\widehat {OAC}\) và \(\widehat {xAC}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {OAC} + \widehat {xAC} = 180^\circ \).

Do đó, \(\widehat {OAC} = 180^\circ - \widehat {xAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Lại có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {OAC}\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {DAC} = \frac{{\widehat {OAC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Lại có \(Ox\parallel BC\) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {OAD} = 60^\circ \) (so le trong)

Vậy \(\widehat {ADC} = 60^\circ \).

b) Ta có \(Ox\parallel BC\) nên \(\widehat {yBC} = \widehat {yOx} = 60^\circ \) (đồng vị);

Mà \(\widehat {CBy}\) và \(\widehat {CBO}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {CBy} + \widehat {CBO} = 180^\circ \).

Suy ra \[\widehat {CBO} = 180^\circ - \widehat {CBy} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].

Lại có \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {CBO}\) nên \(\widehat {CBE} = \widehat {EBO} = \frac{{\widehat {OBC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Khi đó, \(\widehat {CBE} = \widehat {ADC} = 60^\circ \).

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(AD\parallel BE.\)