(0,5 điểm) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh đẳng thức \(\frac{{5a + 3b}}{{3a - 7b}} = \frac{{5c + 3d}}{{3c - 7d}}.\)

Hướng dẫn giải

2.1. Gọi thời gian để 5 máy cày cày xong cánh đồng là \[x\] giờ \[\left( {x > 0} \right)\].

Vì năng suất của mỗi máy cày là như nhau nên để cày cùng một cánh đồng, số máy cày tỉ lệ nghịch với số giờ cày xong cánh đồng.

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: \[\frac{{30}}{x} = \frac{5}{3}\] do đó, \[x = \frac{{3.30}}{5} = 18\].

Vậy 5 máy cày cày xong cánh đồng đó hết 18 giờ.

2.2. Gọi chiều dài của ba cuộn vải loại \(I,\) loại \(II,\) loại \(III\) lần lượt là \(a,b,c{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) với \(\left( {0 < a,b,c < 168} \right)\).

Sau một ngày, cửa hàng bán được số vải của các cuộn là

Cuộn vải loại \(I\) bán được: \(a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Cuộn vải loại \(II\) bán được: \(b - \frac{1}{3}b = \frac{2}{3}b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Cuộn vải loại \(III\) bán được: \(c - \frac{3}{5}c = \frac{2}{5}c{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Do giá tiền \(1{\rm{ m}}\) vải của các cuộn bằng nhau nên số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ với số tiền bán được, mà số tiền bán được của các cuộn tỉ lệ với \(2:3:2\). Do đó, số vải bán được của các cuộn tỉ lệ với \(2:3:2\).

Ta có: \(\frac{{\frac{1}{3}a}}{2} = \frac{{\frac{2}{3}b}}{3} = \frac{{\frac{2}{5}c}}{2}\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{{2b}}{9} = \frac{{2c}}{{10}}\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5}\).

Mà tổng chiều dài của ba cuộn vải là \(186{\rm{ m}}\) nên \(a + b + c = 186{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{6 + 4,5 + 5}} = \frac{{186}}{{15,5}} = 12\).

Suy ra \(\frac{a}{6} = 12\) nên \(a = 72{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

\(\frac{b}{{4,5}} = 12\) nên \(b = 54{\rm{ m}}\).

\(\frac{c}{5} = 12\) nên \(c = 60{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy chiều dài của ba cuộn vải loại \(I,\) loại \(II,\) loại \(III\) lần lượt là \(72{\rm{ m, 54 m, 60 m}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{1,2}}{{x + 3}} = \frac{5}{4}\) nên \(5\left( {x + 3} \right) = 4.1,2\) hay \(5x + 15 = 4,8\), do đó \(5x = 4,8 - 15\) được \(5x = 10,2\).

Suy ra \(x = 2,04\).

Vậy \(x = 2,04\).

b) \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{12}}\) và \(x + y = 60\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{12}} = \frac{{x + y}}{{8 + 12}} = \frac{{60}}{{20}} = 3\).

Suy ra \(\frac{x}{8} = 3\) nên \(x = 24\) và \(\frac{y}{{12}} = 3\) nên \(y = 36\).

Vậy \(x = 24\) và \(y = 36\).

c) \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) và \(x + y + z = 30\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 5}} = \frac{{30}}{{10}} = 3\).

Suy ra \(x = 2.3 = 6;{\rm{ }}y = 3.3 = 9;{\rm{ }}z = 5.3 = 15\).

Vậy \(x = 6;y = 9;z = 15\).